Phương pháp giải:

Ba điểm  A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right).$ 

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {2m + 1;\,\, - \frac{4}{3}} \right)\end{array} \right..$

Ba điểm  A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right)$ 

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right) = k\left( {2m + 1; - \frac{4}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m = k\left( {2m + 1} \right)\\2 - 2m =  - \frac{4}{3}k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\\2 - m = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\left( {2m + 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 2m = 6{m^2} + 3m - 6m - 3\\ \Leftrightarrow 6{m^2} - m - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {6m - 7} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6m - 7 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{6}\\m =  - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow {m_1} + {m_2} = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}.\end{array}$

Đáp án  D.

Phương pháp giải:

Cho các vecto $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};\,\,{b_2}} \right)$ và $k \in \mathbb{R}$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};\,\,{a_2} + {b_2}} \right)\\k\overrightarrow a  = k\left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right) = \left( {k{a_1};\,\,k{a_2}} \right)\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = x\left( {3; - 1} \right) + y\left( {5; - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = \left( {3x; - x} \right) + \left( {5y; - 4y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 3x + 5y\\ - 5 =  - x - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow x + y =  - 3 + 2 =  - 1.\end{array}$

Đáp án  D.

Phương pháp giải:

$ABDC$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$

Hai véc tơ bằng nhau khi hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \left( {x - 4;y - 3} \right)$; $\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2} \right)$

Để $ABDC$ là hình bình hành thì $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.$  nên $D\left( {5;1} \right)$

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm và trực tâm của tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

* Giả sử $A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {c;d} \right)$

$M$  là trung điểm của $AB$  $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\\b + d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 6 - a\\d = 2 - b\end{array} \right.$

$\Rightarrow A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {6 - a;2 - b} \right)$

$\begin{array}{l}*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {KA}  = \left( {a;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH}  = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KH}  = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 5;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH}  = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {KH}  \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{1} = \frac{{b - 2}}{{ - 2}} \Leftrightarrow  - 2a - b + 12 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right):\,\,\,a - 2b + 4 = 0\\\left( 2 \right):\,\,\, - 2a - b + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {4;4} \right)\\B\left( {2; - 2} \right)\end{array} \right.$

* Giả sử $C\left( {m;n} \right)$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( { - 3; - 4} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {m - 2;n + 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow  - 3m - 4n - 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CK}  = \left( { - m;2 - n} \right)\\\overrightarrow {KA}  = \left( {4;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\overrightarrow {CK} //\overrightarrow {KA}  \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{4} = \frac{{2 - n}}{2} \Leftrightarrow  - m - 4 + 2n = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}$

Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}\left( 3 \right):\,\, - 3m - 4n - 2 = 0\\\left( 4 \right):\,\, - m + 2n - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2;1} \right)$

Chọn A.

Phương pháp giải:

${S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC}  =  \pm 3\overrightarrow {BM}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..$

$\overrightarrow u$ cùng phương với $x\overrightarrow a  + \overrightarrow b$ và $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)$  sao cho $\overrightarrow u  = k\left( {x\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u  = l\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y =  - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho $\overrightarrow a  = \left( {3;\,\,2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b  = \left( { - 3;\,\,1} \right)$. Đặt $\overrightarrow u  = \left( {2 - x} \right)\overrightarrow a  + \left( {3 + y} \right)\overrightarrow b$. Tìm $x,\,\,y$ sao cho $\overrightarrow u$ cùng phương với $x\overrightarrow a  + \overrightarrow b$ và $\overrightarrow a  + \overrightarrow b$ .

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..$

$\overrightarrow u$ cùng phương với $x\overrightarrow a  + \overrightarrow b$ và $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)$  sao cho $\overrightarrow u  = k\left( {x\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u  = l\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y =  - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho $\overrightarrow u  = (x;y)$ ;$\overrightarrow {u'}  = (x';y')$

Nếu $xy \ne 0$ ta có $\overrightarrow {u'}$ cùng phương $\overrightarrow u  \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}$

Lời giải chi tiết:

Gọi $I\left( {x;y} \right)$ là giao điểm $AC$  và $BD$  suy ra $\overrightarrow {AI\,} \,;\,\overrightarrow {AC}$ cùng phương và $\overrightarrow {BI\,} \,;\,\,\overrightarrow {BD}$ cùng phương

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = \left( {x\,;\,y - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2\,;\,6} \right) \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{6} \Leftrightarrow 6x - 2y =  - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {BI}  = \left( {x - 1;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;0} \right)\, \Rightarrow y = 3\,\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 6x - 2.3 =  - 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.$

Vậy ${\rm{I }}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}};\,3} \right)$ là điểm cần tìm.     

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Cho $\overrightarrow u  = (x;y)$ ;$\overrightarrow {u'}  = (x';y')$

Nếu $xy \ne 0$ ta có $\overrightarrow {u'}$ cùng phương $\overrightarrow u  \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}$

Lời giải chi tiết:

+ Với $m = 0$: Ta có $\overrightarrow {u\,}  = ( - 2;4)\,\,\,;\overrightarrow {v\,}  = (0;2)$

Vì $\,\frac{0}{{ - 2}} \ne \frac{2}{4}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,$không cùng phương

+ Với $m \ne 0$: Ta có $\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,$cùng phương $\Leftrightarrow \frac{{{m^{\rm{2}}} + m - 2}}{m} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 2m \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{m = 2\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.$

Vậy với $m =  - 1$ và $m = 2$ là các giá trị cần tìm.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đặt $C\left( {4 - x; - 1 - y} \right),\,\,D\left( {4 + x; - 1 + y} \right)$ vì $I\left( {4; - 1} \right)$ là trung điểm của CD.

Lời giải chi tiết:

Do $I\left( {4; - 1} \right)$ là trung điểm của $CD$  nên đặt $C\left( {4 - a; - 1 - b} \right),\,\,D\left( {4 + a; - 1 + b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} \left( {2a;\,\,\,2b} \right)$

Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3 + 1\\2b = 4 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}} \right..$

Vậy $C\left( {2; - 2} \right),\,\,D\left( {6;0} \right),\,\,O\left( {\frac{5}{2};1} \right).$

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $E,\,\,F.$

Xét xem điểm $A,\,\,B$ có nằm cùng phía với $d$ hay không.

TH1: Nếu $A,\,\,B$ nằm cùng phía với $d$ ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm $M.$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}$ với  $\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.$

$\Rightarrow A,\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap AB = \left\{ M \right\}.$

TH2: Nếu $A,\,\,B$ nằm khác phía với $d$ ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm $M.$

+) Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d.$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B$

$\Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).$

$\Rightarrow A',\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap A'B = \left\{ M \right\}.$

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng $d$  đi qua $E,\,\,F$ là: $d:\,\,\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{3 - 0}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) =  - y \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0.$

Thay tọa độ điểm $A,\,\,B$ vào biểu thức: $f\left( {x;\,\,y} \right) = 3x + y - 3$ ta được:

$\left( {3.3 + 4 - 3} \right)\left( {3.\left( { - 2} \right) + 1 - 3} \right) = 10.\left( { - 8} \right) =  - 80 < 0$

$\Rightarrow A,\,\,B$ nằm khác phía với đường thẳng $d.$

Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d.$

Phương trình đường thẳng $AA'$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ là:

$x - 3 - 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 9 = 0.$

Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $AA'.$ Khi đó $I$ là trung điểm của$AA'$ và tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A} = 2.0 - 3 =  - 3\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\,2} \right).\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B$

$\Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).$

$\Rightarrow A',\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap A'B = \left\{ M \right\}.$

Phương trình đường thẳng $A'B:\,\,\,\frac{{x + 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow  - x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.$

$\Rightarrow$ Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 3} \right).$

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Xét xem điểm  có nằm cùng phía với $d$ hay không.

TH1: Nếu $A,\,\,B$ nằm cùng phía với $d$ ta làm như sau:

+) $M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $MA + MB \ge AB.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}$ với  $\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.$

$\Rightarrow A,\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap AB = \left\{ M \right\}.$

TH2: Nếu $A,\,\,B$ nằm khác phía với $d$ ta làm như sau:

+) $M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).$

+) Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $d.$

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: $MA' + MB \ge A'B \Leftrightarrow MA + MB \ge A'B$

$\Rightarrow \left( {MA + MB} \right)\,\,\,Min \Leftrightarrow MA' + MB = A'B.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).$

$\Rightarrow A',\,\,B,\,\,M$ thẳng hàng hay $d \cap A'B = \left\{ M \right\}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).$

Thay tọa độ điểm $A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\, - 6} \right)$ vào biểu thức $f\left( {x;\,\,y} \right) = 2x + y - 4$ ta được:

$\left( {2.4 + 1 - 4} \right)\left( {2.1 - 6 - 4} \right) = 5.\left( { - 8} \right) =  - 40 < 0$

$\Rightarrow A,\,\,B$ nằm khác phía với đường thẳng $d.$

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: $MA + MB \ge AB.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow M \equiv {M_0}$ với  $\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.$

Phương trình đường thẳng $AB:\,\,\frac{{x - 4}}{{1 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6 - 1}} \Leftrightarrow 7\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 7x - 3y - 25 = 0.$

Khi đó tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:  $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\7x - 3y - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{{13}}\\y =  - \frac{{22}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác $APMN$ là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {NM}  \Rightarrow$ tọa độ điểm $A.$ 

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: $M,\,\,N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,\,\,CA,\,\,AB$

Theo tính chất đường trung tuyến $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN = AP = \frac{1}{2}AB\\MN//AB\end{array} \right. \Rightarrow APMN$ là hình bình hành (dhnb).

Gọi $A\left( {a;\,\,b} \right).$  Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AP}  = \left( { - a; - 5 - b} \right)\\\overrightarrow {NM}  = \left( { - 2;\,\, - 3} \right)\end{array} \right..$

Vì $APMN$ là hình bình hành (cmt) $\Rightarrow \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a =  - 2\\ - 5 - b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2; - 2} \right).$

Chọn  A.

Phương pháp giải:

$\Delta ABC$ vuông cân tại$C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\\AC = BC\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Gọi $C\left( {a;\,\,b} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC}  = \left( {a - 5;\,\,b + 2} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {a + 3;\,\,\,b - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right..$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại$C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\\AC = BC\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 5} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {b + 2} \right)\left( {b - 4} \right) = 0\\\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a - 15 + {b^2} - 2b - 8 = 0\\{\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\25 - 10a + 4b + 4 = 6a + 9 - 8b + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{{1 + 3b}}{4}} \right)^2} + {b^2} - 2.\frac{{1 + 3b}}{4} - 2b - 23 = 0\,\,\,\left( * \right)\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 1 + 6b + 9{b^2} + 16{b^2} - 8 - 24b - 32b - 368 = 0\\ \Leftrightarrow 25{b^2} - 50b - 375 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( { - 2;\, - \,3} \right)\\C\left( {4;\,\,5} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Lại có  là điểm có hoành độ âm nên  là điểm thỏa mãn bài toán.

Chọn  B.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm $M\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  = \left( {2 - 2x; - 4 - 2y} \right)\,\,;\,\,3\overrightarrow {MB}  = \left( { - 9 - 3x;\;15 - 3y} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - 2x + 9 + 3x; - 4 - 2y - 15 + 3y} \right) = \left( {x + 11;\;y - 19} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 11 = 0\\y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 11\\y = 19\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 11;\;19} \right).\end{array}$ 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức : $\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};\;{y_B} - {y_A}} \right),\;\;\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) + \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) = \left( {{a_1} + {b_1};\;{a_2} + {b_2}} \right).$

 $\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) = \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Gọi $M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)$ ta có: $\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - {x_0};\;3 - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MB}  = \left( {4 - {x_0}; - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - {x_0}; - 5 - {y_0}} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( { - 1 + {x_0};\;18 + {y_0}} \right) = \left( {0;\;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + {x_0} = 0\\18 + {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} =  - 18\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 18} \right).\end{array}$

Chọn  C.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {10} \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {20} \\\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {10} \end{array}$

Chu vi tam giác ABC $= AB + AC + BC = 2\sqrt {10}  + \sqrt {20}$

Chọn D.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\,\,;\,\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}$

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\vec a = m\vec u + \vec v = m\left( {2;\;5} \right) + \left( { - 3;\;1} \right) = \left( {2m - 3;\;5m + 1} \right)\\ \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( {2m - 3} \right)}^2} + {{\left( {5m + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} \\\overrightarrow b  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \\\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2m - 3 + 5m + 1 = 7m - 2\end{array}$

 Mặt khác: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .\sqrt 2 .\cos {45^o} = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7m - 2 = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7m - 2 \ge 0\\49{m^2} - 28m + 4 = 29{m^2} - 2m + 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\20{m^2} - 26m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m =  - \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}.\end{array}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

G là trọng tâm tam giác ABC.  M, N, P là trung điểm các cạnh của tam giác ABC thì G cũng là trọng tâm tam giác MNP.

G là trọng tâm của tam giác ABC $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow$ G cũng là trọng tâm tam giác MNP

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{ - 3 + 5 + 1}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{5 - 6 + 0}}{3} =  - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)$

Chọn D.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;1} \right)$

$\begin{array}{l}\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\\\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\end{array} \right..\end{array}$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;1} \right)$

$\begin{array}{l}m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  = \left( {m.\left( { - 1} \right) + n.3;\;m.2 - n.5} \right) = \left( { - m + 3n;\;2m - 5n} \right)\\m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 3n = 1\\2m - 5n = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n = 3\end{array} \right..\end{array}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho $A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3; - 2} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1} \right) - \left( { - 3; - 2} \right) = \left( {1;\;1} \right).\end{array}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau để làm bài toán:

$\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;1} \right)$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;\;1} \right)$

$m\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = m\left( { - 1;2} \right) + \left( {3; - 5} \right) = \left( {m.\left( { - 1} \right) + 3;\;m.2 - 5} \right) = \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right)$

Để $m\overrightarrow a  + \overrightarrow b$ vuông góc với $\overrightarrow i  + \overrightarrow j  \Leftrightarrow \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right).\left( {1;\;1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - m + 3 + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 2$ 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Py-ta-go và quy tắc 3 điểm.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

 $\begin{array}{l} \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 5.\end{array}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho $A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B},\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}$

H là trung điểm của BC $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ cân tại A (định nghĩa).

Gọi H là trung điểm của BC $\Rightarrow H\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 1;\;1} \right)$

Do $\Delta ABC$ cân tại A (cmt) $\Rightarrow$ AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao của $\Delta ABC$

$\Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2$

Chọn A.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow i  = \left( {1;\;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;\;1} \right)$ từ đó tìm tọa độ $\overrightarrow {OM}$ suy ra tọa độ điểm M chính là tọa độ $\overrightarrow {OM}$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi $M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {{x_0};\;{y_0}} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {OM}  = 4\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  = 4\left( {1;\;0} \right) - 2\left( {0;\;1} \right) = \left( {4.1 - 2.0;\;4.0 - 2.1} \right) = \left( {4; - 2} \right) \Rightarrow M\left( {4; - 2} \right)$

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Gọi $M\left( {m;0} \right) \in Ox$, tính $2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}$

+) Sử dụng công thức tính độ dài vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $M\left( {m;0} \right) \in Ox$ ta có: $\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - m;0} \right);\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - m;3} \right);\,\,\overrightarrow {MC}  = \left( { - 3 - m; - 5} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - 2m + 3m - 6 - 2m; - 9 - 10} \right) = \left( { - m - 4; - 19} \right)\\ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + {{19}^2}}  \ge \sqrt {{{19}^2}}  = 19\end{array}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m + 4 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4 \Rightarrow M\left( { - 4;0} \right)$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 5} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 4} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {8;1} \right)$

Vậy $\vec v = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC}  + 4\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \vec v = \left( {12;6} \right)$.

Phương pháp giải:

+) Tính vectơ u.

+) Sử dụng các giả thiết để tìm x.

+) Dựa vào điều kiện $\overrightarrow u$ là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow v$  để loại đáp án.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {4 + 2x + 1; - 6 + 2} \right) = \left( {2x + 5; - 4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {25 + 64}  = \sqrt {89} ;\,\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow \sqrt {89}  = 2\sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\ \Leftrightarrow 89 = 4{\left( {2x + 5} \right)^2} + 64 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = \frac{5}{2}\\2x + 5 =  - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5}}{4}\\x = \frac{{ - 15}}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Khi $x = \frac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {\frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 5;8} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow v \,\,\left( {tm} \right)$

Khi $x = \frac{{ - 15}}{4} \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {\frac{{ - 5}}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( {5;8} \right)\,\,\left( {ktm} \right)$

Vậy $x = \frac{{ - 5}}{4}$.

Phương pháp giải:

G là trọng tâm tam giác MNP thì G là trọng tâm giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm tam giác MNP, ta dễ dàng chứng minh được G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: $G\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm D để $\overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $CD = 2AB \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 - {x_D} = 2\left( { - 1 - 1} \right)\\1 - {y_D} = 2\left( {2 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_D} =  - 4\\1 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4; - 1} \right)$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}$.

Để ABDC là hình chữ nhật cần thêm điều kiện $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 6} \right);\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1; - 7} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 3.2 + 1.\left( { - 6} \right) = 0 \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A.

Để ABDC là hình bình hành

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \left( {3;1} \right) = \left( {{x_D} - 4;{y_D} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 3\\{y_D} + 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 7\\{y_D} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7; - 3} \right)\end{array}$

Hơn nữa $\widehat {BAC} = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)$ nên ABDC là hình chữ nhật.

Vậy $D\left( {7; - 3} \right)$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm $\Rightarrow \overrightarrow {BG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Rightarrow M\left( {7;8} \right)$ (M là trung điểm AC).

$AC = 2AB \Rightarrow AM = AB$.

Giả sử $M\left( {a;b} \right).\,\,A{M^2} = A{B^2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2}\\ \Rightarrow a = 8 - 2b\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {7 - a;8 - b} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - a;4 - b} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = 0 \Leftrightarrow \left( {7 - a} \right)\left( {1 - a} \right) + \left( {8 - b} \right)\left( {4 - b} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( { - 2;5} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)\\A\left( {10; - 1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

M là trung điểm của AC $\Rightarrow C\left( {4;17} \right)$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Giả sử $H\left( {a;b} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 8} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Rightarrow 2a + b - 10 = 0\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 2;b + 1} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 5} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Giải hệ (1); (2) $\Rightarrow H\left( {3;4} \right)$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xét vị trí trương đối của A, B so với trục hoành.

Tìm A' là điểm đối xứng với A qua trục hoành. Sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy $A,\,B$  cùng phía với trục hoành.

Gọi $A'$  là điểm đối xứng với $A$  qua trục hoành.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'\left( {1; - 2} \right)\\PA = PA'\end{array} \right..$

Ta có $PA + PB = PA' + PB \ge A'B$.

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \overrightarrow {A'P}$ cùng phương với $\overrightarrow {A'B}$

Suy ra $\frac{{{x_P} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{0 + 2}}{{4 + 2}} \Rightarrow {x_P} = \frac{5}{3} \Rightarrow P\left( {\frac{5}{3};0} \right)$

Chọn  A.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

$\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Gọi $E\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \left( {x - 2;y - 5} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 4} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2} \right)$

$\overrightarrow {AE}  = 3\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3.\left( { - 1} \right) - 2.1\\y - 5 = 3.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 3; - 3} \right).$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\vec u = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\vec i - 3\vec j\\\overrightarrow u  = \left( {0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  =  - \overrightarrow j \\\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  =  - \overrightarrow i  + 8\overrightarrow j \\\overrightarrow u  = \left( {0;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = 0\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow u  = \left( {2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = 2\overrightarrow i \\\overrightarrow u  = \left( {\pi ; - \sin {{10}^0}} \right) = \pi \overrightarrow i  - \sin {10^0}\overrightarrow j \end{array}$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}a)\,\,\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {4;\,2} \right) - \left( {9;12} \right) + \left( {7;2} \right) = \left( {2; - 8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow v  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c \\ \Leftrightarrow \overrightarrow v  =  - \left( {2;\,\,1} \right) + \left( {3;\,\,4} \right) - \left( {7;\,\,2} \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow v  = \left( { - 2 + 3 - 7;\,\, - 1 + 4 - 2} \right) = \left( { - 6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  = k\left( {2;\,\,1} \right) + m\left( {3;\,\,4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {7;\,\,2} \right) = \left( {2k + 3m;\,\,k + 4m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k + 3m = 7\\k + 4m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{22}}{5}\\m =  - \frac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow c  = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a  - \frac{3}{5}\overrightarrow b .\end{array}$

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Ta có $PANM$  là hình bình hành nên: $\overrightarrow {PA}  = \overrightarrow {MN}$

$\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} + 4 = 2}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} =  - 2}\end{array}} \right.$

Tương tự ta tính được : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} =  - 1}\\{{y_B} =  - 6}\end{array}} \right.;\,\,\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 8}\end{array}} \right.$

Vậy tọa độ các đỉnh của $\Delta ABC$ là: $A\left( {1; - 2} \right),\,\,B\left( { - 1; - 6} \right),\,\,C\left( {3;\,\,8} \right).$