Lời giải chi tiết:

Gọi  là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ta có:  

$$\left\{ \matrix{ {x_I} = {{{x_A} + {x_B}} \over 2} \hfill \cr {y_I} = {{{y_A} + {y_B}} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_I} = {{2 + 4} \over 2} = 3 \hfill \cr {y_I} = {{ - 3 + 7} \over 2} = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I\left( {3;2} \right)$$

Phương pháp giải:

$G({x_G};{y_G})$là trọng tâm tam giác ABC: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: $C \in Oy;\,\,G \in O\,x \Rightarrow C\left( {0;{y_C}} \right),\,\,G\left( {{x_G};0} \right)$

$G$ là trọng tâm tam giác  $\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} + {x_B} + {x_C} = 3{x_G}}\\{{y_A} + {y_B} + {y_C} = 3{y_G}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 + 1 + 0 = 3{x_G}\\1 - 3 + {y_C} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_G} = \frac{4}{3}}\\{{y_C} = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G\left( {\frac{4}{3};\,\,0} \right)\\C\left( {0;\,\,2} \right)\end{array} \right..$

Vậy $C\left( {0;2} \right).$

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của tam giác cân và công thức tính chu vi tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}\left\{ B \right\} = AB \cap Ox \Rightarrow B\left( {1;\,\,0} \right)\\A \in AB \Rightarrow A\left( {a;\,\,\,3\sqrt 7 \left( {a - 1} \right)} \right) \Rightarrow a > 1\,\,\,\,\left( {do{\rm{ }}{x_A} > 0,{y_A} > 0} \right)\end{array}$

Gọi $AH$  là đường cao của $\Delta ABC \Rightarrow H$ là hình chiếu của $A$ trên $Ox$

$\Rightarrow H\left( {a;\,\,0} \right)$

Mà $\Delta ABC$ là $\Delta$ cân tại $A \Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C\left( {2a - 1;0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BC}  = \left( {2a - 2;\,\,0} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - a;\,\, - 3\sqrt 7 \left( {a - 1} \right)} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left[ {2\left( {a - 1} \right)} \right]}^2}}  = 2\left( {a - 1} \right)\,\,\,\,\left( {a > 1} \right)\\AC = AB = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 63\left( {a - 1} \right)}  = 8\left( {a - 1} \right)\,\,\,\,\left( {a > 1} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Chu vi $\Delta ABC$ là $18 \Rightarrow AB + BC + CA = 18$  

$\begin{array}{l}\, \Leftrightarrow \,2.8\left( {a - 1} \right) + 2\left( {a - 1} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 18\left( {a - 1} \right) = 18\\ \Leftrightarrow a - 1 = 1\\ \Leftrightarrow a = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C\left( {3;\,\,0} \right)\\A\left( {2;\,\,3\sqrt 7 } \right)\end{array} \right..\end{array}$

Chọn  C

Phương pháp giải:

$I\left( {{x_I};{y_I}} \right)$ là trung điểm của cạnh $AB$ với $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}}\\{{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}}\end{array}} \right.$

Lời giải chi tiết:

$I$ là trung điểm của $BD \Rightarrow D = \left( {2{x_I} - {x_B};2{y_I} - {y_B}} \right) \Rightarrow D\left( {7;1} \right)$

$I$ là trung điểm của $AC \Rightarrow A = \left( {2{x_I} - {x_C};2{y_I} - {y_C}} \right) \Rightarrow A\left( { - 2;5} \right)$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Trong hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)$, vectơ $\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j$ có tọa độ $\overrightarrow u  = (a;b)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow u  =  - 4\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( { - 4;\,\,3} \right).$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trọng tâm $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{2 + 0 + {x_C}}}{3}\\2 = \frac{{2 + \left( { - 1} \right) + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 1\\{y_C} = 5\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\,\,5} \right).$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức về tọa độ trọng tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 4 + 3}}{3} = 3\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{1 - 3 + 5}}{3} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {3;1} \right).$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D\left( {{x_D};{y_D}} \right)$.

Vì $B$  là trung điểm của $AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,1\, = \frac{{ - 1 + {x_D}}}{2}\\ - 3 = \frac{{2 + {y_D}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 1 = 2\\{y_D} + 2 =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3\\{y_D} =  - 8\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {3; - 8} \right).$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho hai điểm $A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};\,\,{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};\,\,{y_B} - {y_A}} \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $M\left( { - 1;\,\,5} \right),N\left( {2;\,\,4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {3; - 1} \right).$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng, trừ vectơ theo tọa độ.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\overrightarrow x  = 2\overrightarrow u  - 3\overrightarrow v  + \overrightarrow j  = 2\left( { - 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j } \right) - 3\left( {6\overrightarrow i  + \overrightarrow j } \right) + \overrightarrow j  =  - 22\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j .\\ \Rightarrow \overrightarrow x  = \left( { - 22;\,\,4} \right).\end{array}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Dùng tính chất hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D\left( {a;b} \right).$ Do $ABCD$  là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} .$

Mà $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 2} \right),\,\,\,\overrightarrow {DC}  = \left( { - 2 - a;\,\,\,2 - b} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 =  - 2 - a\\ - 2 = 2 - b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right..$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tọa độ của vectơ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA}  = \left( {3; - 1} \right).$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có:$A \in Ox \Rightarrow A\left( {a;\,\,0} \right);\,\,B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;\,\,b} \right).$

Vì $G$  là trọng tâm tam giác $OAB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_O}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_O}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{a + 0 + 0}}{3}\\ - 2 = \frac{{0 + b + 0}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 6\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {3; - 6} \right).$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết:

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = \frac{{ - 4 + a - 1}}{3}\\3 = \frac{{7 + b - 3}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 + a =  - 3\\4 + b = 9\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\end{array} \right.$ $\Rightarrow T = 2a + b = 2.2 + 5 = 9$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Cho véc tơ $\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)$, khi đó $\overrightarrow v  = k\overrightarrow u \,\left( {k \ne 0} \right)$ cùng hướng với $\overrightarrow u  \Leftrightarrow k > 0$ và ngược hướng với $\overrightarrow u  \Leftrightarrow k < 0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {2 + 1; - 2 + 8} \right) = \left( {3;6} \right) = 3\left( {1;2} \right) = 3\overrightarrow u$

Nên $\overrightarrow u  + \overrightarrow v$ và $\overrightarrow u$  cùng hướng, do đó A đúng.

Chọn A

Phương pháp giải:

Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.

Cho $A\left( {{x_1};{y_1}} \right);\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \\AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}}  = 4\\BC = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \end{array}$

Chu vi tam giác $ABC$ bằng $AB + BC + AC = 4 + 4\sqrt 2 .$

Chọn B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất đường trung bình: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

Lời giải chi tiết:

Do $M,N$ là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}$.

Mà $\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 8} \right)$ nên $\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {2; - 8} \right) = \left( {1; - 4} \right)$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tọa độ véc tơ $\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$

Lời giải chi tiết:

$A\left( { - 1;2} \right)$ và $B\left( {3; - 1} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {BA}  = \left( { - 1 - 3;2 + 1} \right) = \left( { - 4;3} \right)$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $k\overrightarrow a  \pm l\overrightarrow b  = \left( {k{x_1} \pm l{x_2};k{y_1} \pm l{y_2}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}4\overrightarrow p  - 2\overrightarrow a  = \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow p  = \frac{1}{4}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - 3\overrightarrow c } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow p  = \frac{1}{4}\left( {2.2 + 3 - 3.\left( { - 7} \right);2.1 + 4 - 3.2} \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow p  = \frac{1}{4}\left( {28;0} \right) = \left( {7;0} \right).\end{array}$

Vậy $\overrightarrow p  = \left( {7;0} \right)$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số để suy ra tọa độ điểm $M$ và từ đó tính tọa độ vecto $\overrightarrow {OM} .$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $M\left( { - 3;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( { - 3;2} \right).$

Chọn C.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng hướng $\Leftrightarrow \overrightarrow a  = k\overrightarrow b \,\,\,\,\left( {k > 0} \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow b  = \left( {4;6} \right) = 2\left( {2;3} \right) = 2\overrightarrow a .$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Công thức tọa độ trọng tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có:$G\left( {{x_G};\,\,{y_G}} \right)$ là trọng tâm tam giác $EHF$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 4}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{3 - 4 + 2}}{3} = \frac{1}{3}\end{array} \right..$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: $\overrightarrow a  = \left( {m;\,\,n} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {km;\,\,kn} \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = m.2 + n.1\\2 = m.\left( { - 2} \right) + n.4\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{9}{5}\\n = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} + n = \frac{{116}}{{25}}.$         

Chọn B.

Phương pháp giải:

Công thức tọa độ trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $I\left( {{x_I};\,\,{y_I}} \right)$ là trung điểm của $BD$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = 3\\{y_I} = \frac{{3 - 1}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3;1} \right).$       

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức trung điểm.

Lời giải chi tiết:

Gọi $I$ là trung điểm $AB.$

 $\begin{array}{l}A\left( {1;\,\,4} \right),\,\,\,B\left( { - 3;2} \right),\,\,\,C\left( { - 3; - 5} \right),\,\,\,M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\\ \Rightarrow I\left( { - 1;\,\,3} \right)\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MI}  = \left( { - 1 - {x_M};3 - {y_M}} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4; - 9} \right)\end{array} \right..\end{array}$

$\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {AC}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_M} =  - 4\\3 - {y_M} =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 3\\{y_M} = 12\end{array} \right..$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Gọi $E\left( {a;0} \right),\,\,\,F\left( {0;b} \right).$

Vì $MNEF$ là hình bình hành suy ra $\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {FE}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = a\\5 =  - b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 5\end{array} \right..$           

Chọn C.

Phương pháp giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} - {x_A} = {x_C} - {x_D}\\{y_B} - {y_A} = {y_C} - {y_D}\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Gọi D(a; b). Khi đó ta có: ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1;\,\,6} \right) = \left( { - 1 - a;\,\,5 - b} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - a = 1\\5 - b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 2; - 1} \right).\end{array}$

Đáp án  C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức cộng vectơ và nhân véctơ với 1 số.

$\begin{array}{l}\overrightarrow a  = \left( {{x_1};{y_1}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{x_2};{y_2}} \right)\\ \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{x_1};k{y_1}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{x_1} + {x_2};{y_1} + {y_2}} \right)\end{array}$

Lời giải chi tiết:

Ta có

$\begin{array}{l}2\overrightarrow u  = \left( {2; - 4} \right)\\\,\,\,\overrightarrow v  = \left( { - 2;2} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {0; - 2} \right)\end{array}$

Đáp án C.

Phương pháp giải:

- Xác định tọa độ các vectơ $\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v$ như sau: $\overrightarrow u  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j$ $\Rightarrow \overrightarrow u \left( {x;y} \right)$.

- $\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow u \left( {2; - 3} \right)$ và $\overrightarrow v  = k\overrightarrow i  + \frac{1}{3}\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow v \left( {k;\frac{1}{3}} \right)$.

Vì $\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v$ nên $\overrightarrow u .\overrightarrow v  = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2k - 3.\frac{1}{3} = 0\\ \Leftrightarrow 2k - 1 = 0\\ \Leftrightarrow k = \frac{1}{2}\end{array}$

Đáp án C.

Phương pháp giải:

Cho  vetco $\overrightarrow u  = a\overrightarrow i  + b\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {a;\,\,b} \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {OM}  =  - 2\overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( { - 2;\,\,3} \right) \Rightarrow M\left( { - 2;\,\,3} \right).$

Đáp án  C.

Phương pháp giải:

- Với $\overrightarrow i ,\overrightarrow j$ là các vector đơn vị ta có $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0\,\,;\,\,{\overrightarrow i ^2} = {\overrightarrow j ^2} = 1.$

- Sử dụng công thức tính tích vô hướng hai vector theo tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Vì $\overrightarrow v  = a.\overrightarrow i  + b.\overrightarrow j$ nên $\overrightarrow v .\overrightarrow j  = 3 \Leftrightarrow (a.\overrightarrow i  + b.\overrightarrow j ).\overrightarrow j  = 3 \Leftrightarrow a.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + b.\overrightarrow j .\overrightarrow j  = 3 \Leftrightarrow b.{\overrightarrow j ^2} = 3 \Leftrightarrow b = 3$

(vì $\overrightarrow i  \bot \overrightarrow j$ nên $\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0$)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính độ dài đoạn thẳng khi biết tọa độ 2 điểm đầu mút $AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}$ 

Lời giải chi tiết:

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {1 - 9} \right)}^2} + {{\left( {2 + 4} \right)}^2}}  = 10.$ 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Giả sử

$\begin{array}{l}M\left( {a;b} \right).\,\,MA = 2MB \Rightarrow \overrightarrow {MA}  =  - 2\overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow \left( {1 - a;1 - b} \right) =  - 2\left( {2 - a;6 - b} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a =  - 4 + 2a\\1 - b =  - 12 + 2b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{3}\\b = \frac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{5}{3};\frac{{13}}{3}} \right)\end{array}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Tự luận

Giả sử $M\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn $2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left( {1 - x;1 - y} \right) + 3\left( {2 - x;5 - y} \right) + \left( {4 - x;1 - y} \right) = \left( {0;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6x + 12 = 0\\ - 6y + 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;3} \right)\end{array}$

Cách 2: Trắc nghiệm

$$\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\left( {2;2} \right)}\\ + &{\left( {6;15} \right)}\\{}&{\left( {4;1} \right)}\\\hline{}&{\left( {12;18} \right):6}\end{array}$$ $\Rightarrow M\left( {2;3} \right)$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {AC}  = \left( {1;m - 2} \right);\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;3} \right)$

Để $C \in AB$ thì $\overrightarrow {AC} //\overrightarrow {AB}  \Rightarrow \frac{1}{{ - 2}} = \frac{{m - 2}}{3} \Rightarrow m = \frac{1}{2}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} .$

Lời giải chi tiết:

$AB = \sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {16 + 9}  = 5$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

$a = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow u  = 2.\overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c  = \left( {2.1 + 3 - 5;\,\,2.\left( { - 2} \right) + 4 + 1} \right) = \left( {0;1} \right)$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Vẽ hình và tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có hình vẽ như hình bên.

Ta có $O$ là trung điểm của $BC \Rightarrow OB = OC = \frac{a}{2}$  và  $OA = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow A\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right),\,\,B\left( { - \frac{a}{2};0} \right),\,\,C\left( {\frac{a}{2};0} \right)$

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm $G\left( {0;\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right).$

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Từ trục tọa độ lấy điểm $A$  kết hợp giả thiết để suy ra điểm $B,\,\,C,\,\,D.$

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ.

Theo đề bài ta có: $B \in \left( {O;\,\,\overrightarrow i } \right),\,\,\overrightarrow {BC}  \uparrow  \uparrow \overrightarrow i ,\,\,\,A\left( {1;\,\,3} \right) \Rightarrow B\left( {1;\,\,0} \right) \Rightarrow AB = 3.$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow C\left( {4;\,\,0} \right);\,\,\,D\left( {4;\,\,3} \right).$ 

$\Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 3} \right).$

Chọn C.

Phương pháp giải:

$\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {PA}$, từ đó tìm tọa độ điểm 

Lời giải chi tiết:

Gọi $A\left( {{x_A};\,\,{y_A}} \right).$

Ta có $\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {PA} \left( {{x_A} - 2;{y_A} + 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {PA}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - 2 =  - 3\\{y_A} + 1 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 1\\{y_A} =  - 5\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1; - 5} \right)$

$N$  là trung điểm $AC \Rightarrow C\left( { - 3; - 1} \right).$ 

$M$  là trung điểm $BC \Rightarrow B\left( {5;3} \right).$

Chọn D.