Phương pháp giải:

+) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

+) Áp dụng định lí Cosin trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Do tam giác $ABC,\,\,DBC$ đều $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\DM \bot BC\end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {DBC} \right) = BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\\\left( {DBC} \right) \supset DM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {DBC} \right)} \right) = \angle \left( {AM;DM} \right)$.

Tam giác $ABC,\,\,DBC$ đều cạnh $a \Rightarrow AM = DM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $ADM$: $\cos \angle AMD = \dfrac{{A{M^2} + M{D^2} - A{D^2}}}{{2AM.MD}} = \dfrac{{\dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{4} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = \dfrac{1}{3}$.

Vậy $\cos \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {DBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}$.

Chọn C.