Phương pháp giải:

Để xác định góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ ta thực hiện các bước sau :

+ Xác định giao tuyến $d$ của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right).$

+ Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ xác định đường thẳng $a \bot d,$ trong mặt phẳng $\left( Q \right)$ xác định đường thẳng $b \bot d.$

+ Khi đó góc giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow AM \bot BC$ (do $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Lại có $\Delta SAB = \Delta SAC\,\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC$ hay $\Delta SBC$ cân tại $S$

$\Rightarrow SM \bot BC.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AM \bot BC;\,\,\,AM \subset \left( {ABC} \right)\\SM \bot BC;\,\,SM \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA$

${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}{a^2}\sin {120^0} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Theo đề bài ${V_{S.ABC}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{24}} \Rightarrow \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}} \Leftrightarrow SA = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}:\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{a}{2}.$

Lại thấy $\Delta ABM$ vuông tại $M$ có $AB = a;\,\,\,\angle ABM = \dfrac{{{{180}^0} - \angle BAC}}{2} = {30^0}$.

$\Rightarrow AM = AB.\sin 30^\circ  = \dfrac{a}{2}$.

Xét tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có $SA = AM = \dfrac{a}{2}$ nên $\Delta SAM$ vuông cân tại $A$ hay $\angle SMA = {45^0}$

Vậy góc giữa $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $45^\circ .$

Chọn D.