Câu 89 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 89 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp cụt tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có đường cao bằng h. Góc giữa mặt phẳng chứa mặt bên và mặt đáy bằng α. Góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng β. Tính:

a) Cạnh đáy, trung đoạn của hình chóp cụt;

b) Diện tích xung quanh của hình chóp cụt đó.

Lời giải chi tiết

 

Gọi H, H’ lần lượt là tâm hai đáy ABCD, A’B’C’D’. I, I’ lần lượt là trung điểm của CD, C’D’ thì \(HH' = h;\widehat {A'CA} = \beta ;\widehat {I'IH} = \alpha .\)

Dễ thấy \(II' = {h \over {\sin \alpha }}\) .

Kí hiệu độ dài cạnh của các đáy ABCD, A’B’C’D’ lần lượt là x, y (x > y).

Ta có

\(\eqalign{  & {{x - y} \over 2} = h\cot \alpha   \cr  &  \Leftrightarrow x - y = 2h\cot \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)

Kẻ A’K // HH thì A’K = HH’ = h và

\(\eqalign{  & KC = A'K\cot \beta \,\,  \cr  & hay\,\,x\sqrt 2  - {{x\sqrt 2  - y\sqrt 2 } \over 2} = h\cot \beta  \cr} \)

Từ đó

\(\eqalign{  & {{\left( {x + y} \right)\sqrt 2 } \over 2} = h\cot \beta   \cr  &  \Leftrightarrow x + y = \sqrt 2 h\cot \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có \(x = {h \over 2}\left( {\sqrt 2 \cot \beta  + 2\cot \alpha } \right)\)

\(y = {h \over 2}\left( {\sqrt 2 \cot \beta  - 2\cot \alpha } \right)\)

(điều kiện \(\sqrt 2 \cot \beta  - 2\cot \alpha  > 0\) )

b)

\(\eqalign{  & {S_{xq}} = 4.{1 \over 2}\left( {x + y} \right)II'  \cr  &  = 2\sqrt 2 h\cot \beta .{h \over {\sin \alpha }}  \cr  &  = {{2\sqrt 2 {h^2}\cot \beta } \over {\sin \alpha }}. \cr} \)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close