Giải bài 5 trang 45 SGK Giải tích 12

LG a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = 1$

Phương pháp giải:

* Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

* Sự biến thiên của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y’$

+ Tại các điểm đó đạo hàm $y’$ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm $y’$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

* Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Lời giải chi tiết:

$y = 2x^2 + 2mx + m -1$ $(C_m)$. Đây là hàm số bậc hai, có đồ thị là parabol, bề lõm quay lên trên.

a) Với $m = 1$ ta có hàm số: $y = 2x^2+ 2x.$

Tập xác định $D =\mathbb R$

* Sự biến thiên:

Ta có: $y'=4x+2.$

$\Rightarrow y'=0 \Leftrightarrow  4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac {-1} {2}$

+) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac {-1} {2};+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;  \dfrac {-1} {2}\right)$

+) Cực trị:

    Hàm số đạt cực tiểu tại $x= \dfrac {-1} {2}$; $y_{CT}= \dfrac {-1} {2}$

+) Giới hạn:

   $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty$

Bảng biến thiên:

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao trục $Ox$ tại hai điểm $(-1;0)$ và $(0;0)$

Cắt $Oy$ tại $(0;0).$

LG b

b) Xác định m để hàm số:

- Đồng biến trên khoảng $(-1, +∞)$

- Có cực trị trên khoảng $(-1, +∞)$

Phương pháp giải:

+) Hàm số đồng biến trên $(a; \, b)  \Leftrightarrow y' > 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).$ 

+) Hàm số nghịch biến trên $(a; \, b)  \Leftrightarrow y' < 0\;\;\forall x \ne \left( {a;\;b} \right).$ 

Lời giải chi tiết:

Tổng quát $y = 2x^2+ 2mx + m -1$ có tập xác định $D = \mathbb R$

Có $y' = 4x + 2m = 0 \Rightarrow y'=0$

$\Leftrightarrow 4x+2m=0 \Leftrightarrow x = \dfrac {-m} {2}$

Suy ra $y’ >$ 0 với $x > \dfrac {-m} {2};y' < 0$ với $x <  \dfrac {-m} {2}$ , tức là hàm số nghịch biến trên $( - \infty ; \dfrac {-m} {2})$ và đồng biến trên $( \dfrac {-m} {2}; + \infty )$

i) Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-1, +∞)$ thì phải có điều kiện $( - 1;{\rm{ }} + \infty )  \subset  ( \dfrac {-m} {2}; + \infty )$

$\Leftrightarrow  \dfrac {-m} {2} \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 2$

ii) Hàm số đạt cực trị tại  $x =  \dfrac {-m} {2}$ .

Để hàm số đạt cực trị trong khoảng $(-1; +∞)$, ta phải có:

$\eqalign{ &  \dfrac {-m} {2} \in ( - 1, + \infty ) \cr  & \Leftrightarrow  \dfrac {-m} {2} > - 1 \Leftrightarrow 1 >  \dfrac {m} {2} \Leftrightarrow m < 2 \cr}$

LG c

c) Chứng minh rằng $(C_m)$ luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số $(C_m)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi $m \Leftrightarrow y=f(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt với mọi $m.$

Lời giải chi tiết:

$(C_m)$ luôn cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt $x = \dfrac {-m} {2}$

$⇔$ phương trình $2x^2+ 2mx + m – 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ta có: $Δ’ = m^2– 2m + 2$ $= (m-1)^2+ 1 > 0, \, ∀m$

Vậy $(C_m)$ luôn cắt $O x$ tại hai điểm phân biệt.

Cách khác

Nhận thấy: $- \dfrac{{{m^2}}}{2} + m - 1$$=  - \dfrac{1}{2}\left( {{m^2} - 2m + 2} \right)$$=  - \dfrac{1}{2}{\left( {m - 1} \right)^2} - \dfrac{1}{2} < 0$ với mọi m.

Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi $m$.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng $y = 0$ (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).

Loigiaihay.com