Giải bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

LG a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\displaystyle (C)$ của hàm số  $\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}$

Phương pháp giải:

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm $y’$

+ Tại các điểm đó đạo hàm $y’$ bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm $y’$ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì $T$ thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục $Ox$

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số y = $\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}$  $\displaystyle (C)$

Tập xác định: $\displaystyle D =\mathbb R$

* Sự biến thiên:

Ta có: $\displaystyle y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3)$

$\displaystyle \Rightarrow y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..$

- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\displaystyle (-\infty;-\sqrt3)$ và $\displaystyle (0;\sqrt3)$, đồng biến trên khoảng $\displaystyle (-\sqrt 3;0)$ và $\displaystyle (\sqrt3;+\infty)$.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $\displaystyle x=0$; $\displaystyle y_{CĐ}={3\over 2}$

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm $\displaystyle x=-\sqrt3$ và $\displaystyle x=\sqrt3$; $\displaystyle y_{CT}=y\,(\pm\sqrt3)=-3$

- Giới hạn:

   $\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty$

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục $\displaystyle Oy$ làm trục đối xứng.

LG b

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị $\displaystyle (C)$ tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $\displaystyle f’’(x) = 0.$

Phương pháp giải:

Giải phương trình $\displaystyle f''(x)=0$ để tìm $\displaystyle x_0.$ Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\displaystyle (C)$ theo công thức: $\displaystyle y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle y’’ = 6x^2– 6$

$\displaystyle \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0$ $⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.$

Có $\displaystyle y’(-1) = 4; \, \,  y’(1) = -4; \, \,  y(± 1) = -1$

Tiếp tuyến của $\displaystyle (C)$ tại điểm $\displaystyle (-1, -1)$ là : $\displaystyle y = 4(x+1) – 1= 4x+3.$

Tiếp tuyến của $\displaystyle (C)$ tại điểm $\displaystyle (1, -1)$ là: $\displaystyle y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.$

LG c

c) Biện luận theo tham số $\displaystyle m$ số nghiệm của phương trình: $\displaystyle x^4- 6x^2+ 3 = m.$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng: $\displaystyle {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}.$ Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\displaystyle {x^4} - 6{x^2} + 3 = m$ $\displaystyle  \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}$ (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của $\displaystyle (C)$ và đường thẳng $d$ : $\displaystyle y = {m \over 2}$

Từ đồ thị ta thấy:

$\displaystyle \frac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m < -6$ thì $d$ và $(C)$ không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.

$\displaystyle \frac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6$ thì $d$ và $(C)$ có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

$\displaystyle -3 < \frac{m}{2}<\frac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3$ thì d và $(C)$ có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.

$\displaystyle \frac{m}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3$ thì $d$ và $(C)$ có 3 điểm chung nên ( 1) có 3 nghiệm.

$\displaystyle \frac{m}{2}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3$ thì $d$ và $(C)$ có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

Vậy:

+) $m < - 6$ thì phương trình vô nghiệm.

+) $m = - 6$ hoặc $m > 3$ thì PT có 2 nghiệm.

+) $m = 3$ thì PT có 3 nghiệm.

+) $– 6 < m < 3$ thì PT có 4 nghiệm.

Loigiaihay.com