Giải bài 6 trang 45 SGK Giải tích 12

LG a

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \((C)\) của hàm số \(f(x)  = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2.\)

Phương pháp giải:

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \(y’\)

+ Tại các điểm đó đạo hàm \(y’\) bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm \(y’\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \(Ox\)

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:  

Ta có:\( y' = - 3{x^2} + 6x + 9.\)

\( \Rightarrow y'=0  \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x + 9 = 0   \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
x - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 3
\end{array} \right..
\end{array}\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng: \((-1;3)\), nghịch biến trên khoảng \((-\infty; -1)\) và \((3;+\infty)\)

- Cực trị:

    Hàm số đạt cực đại tại \(x=3\); \(y_{CĐ}=29\)

    Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1\); \(y_{CT}=-3\)

- Giới hạn:

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = + \infty\)
   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - \infty \)

-Bảng biến thiên:

* Đồ thị

Đồ thị hàm số giao trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\)

Đồ thị hàm số nhận \(I(1;13)\) làm tâm đối xứng.

LG b

b) Giải bất phương trình \(f’(x-1)>0.\)

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm \(y=f'(x).\) Thay \(x-1\) vào vị trí của \(x\) để tính \(f'(x-1)\) và giải bất phương trình \(f'(x-1)>0.\)

Lời giải chi tiết:

\(y=f(x)  = - {x^3} + 3{x^2} + 9x + 2\)

\(f’(x) = - 3{x^2} + 6x + 9\). 

\( \Rightarrow f’(x-1)=-3(x-1)^2+6(x-1)+9\)

\( =  - 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 6x - 6 + 9 \) \(=  - 3{x^2} + 6x - 3 + 6x + 3\)

= \(-3x^2+ 12x \)

\( \Rightarrow f'(x-1)> 0 \) \( \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 12x > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 4\)

LG c

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x_0,\) biết rằng \(f’’(x_0) = -6.\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(f''(x_0)=-6\) để tìm \(x_0.\) Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \((C)\) theo công thức: \(y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).\)

Lời giải chi tiết:

Có \(f’’(x) = -6x+6\)

\(f’’(x_0)= -6 ⇔ -6x_0+ 6 = -6 \) \(⇔ x_0= 2\)

Do đó: \(f’(2) = 9, f(2) = 24\).

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(x_0= 2\) là:

\(y=f’(2)(x-2) + f(2)  \) \(⇔  y=9(x-2) +24 \) \(⇔y = 9x+6.\)

Loigiaihay.com