Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng caoCho dãy số (un) xác định bởi Quảng cáo
Đề bài Cho dãy số (un) xác định bởi \({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\) Chứng minh rằng \({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\) (1) Với mọi số nguyên dương n. Phương pháp giải - Xem chi tiết Phương pháp quy nạp +) chỉ ra đẳng thức đúng với n = 1: \({u_1} = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\) +) Giả sử đẳng thức đúng đến n=k, chứng minh n=k+1 đẳng thức vẫn đúng. Lời giải chi tiết +) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\). Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\). +) Giả sử (1) đúng đến \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là: \(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\) \({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} \) \( = \frac{{\frac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \frac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{{2.2}^{k - 1}}}}= {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\) Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|