Câu 38 trang 68 SGK Hình học 11 Nâng caoChứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó Quảng cáo
Đề bài Chứng minh rẳng tổng bình phương tất cả các đường chéo của một hình hộp bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó Phương pháp giải - Xem chi tiết Áp dụng tính chất: “ Trong một hình bình hành, tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh.” Chứng minh:
Ta có: \(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC\cos B\\B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD\cos A\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A{B^2} + B{C^2} + 2AB.BC\cos B\end{array}\) Vì \(AD = BC\) và \(\cos A = - \cos B\) (hai góc bù nhau thì cos đối nhau) \( \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2A{B^2} + 2B{C^2}\) \( = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right)\). Lời giải chi tiết
Đặt AB = a, BC = b, AA’ = c ( đó là 3 kích thước của hình hộp). Trong hình bình hành ABC’D’ ta có: \(AC'{^2} + BD{'^2} = 2\left( {{a^2} + BC'{^2}} \right)\) (1) Trong hình bình hành A’B’CD ta có: \(A'{C^2} + B'{D^2} = 2\left( {{a^2} + B'{C^2}} \right)\) (2) Cộng (1) và (2) ta được : \(AC'{^2} + BD'{^2}+A'{C^2} + B'{D^2} \)\(= 2\left( {2{a^2} + BC{'^2} + B'{C^2}} \right)\) (3) Mặt khác trong hình bình hành BB’C’C ta có: \(BC{'^2} + B'{C^2} = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\) (4) Thay (4) vào (3) ta được : \(AC'{^2} + BD'{^2} + A'{C^2} + B\,'{D^2}\)\( = 4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) (đpcm). Loigiaihay.com  Chia sẻ Bình luận
Quảng cáo
Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
|
