Câu 37 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất.

Lời giải chi tiết:

Người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất khi  $\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 1$

Ta có:

$\eqalign{ & \cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 1\cr& \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0 \cr  & \Leftrightarrow {\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right) = k\pi\cr& \Leftrightarrow t = {1 \over 2}\left( {3k + 1} \right) \cr}$ 

Ta cần tìm k nguyên để $0 ≤ t ≤ 2$

$0 \le t \le 2 \Leftrightarrow 0 \le {1 \over 2}\left( {3k + 1} \right) \le 2$

$\Leftrightarrow - {1 \over 3} \le k \le 1 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}$ 

Với $k = 0$ thì $t = {1 \over 2}.$

Với $k = 1$ thì $t = 2$.

Vậy trong 2 giây đầu tiên, người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất vào các thời điểm ${1 \over 2}$ giây và 2 giây.

Quảng cáo

LG b

Tìm các thời điểm trong vòng 2 giây đầu tiên mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét (tính chính xác đến

${1 \over {100}}$ giây).

Lời giải chi tiết:

Người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét khi  $3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 2$

Ta có:

$\eqalign{ & 3\cos \left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = \pm 2 \cr  & \Leftrightarrow {\cos ^2}\left[ {{\pi \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = {4 \over 9} \cr  & \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos \left[ {\frac{{2\pi }}{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]}}{2} = \frac{4}{9}\cr& \Leftrightarrow 1 + \cos \left[ {{{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = {8 \over 9} \cr  & \Leftrightarrow \cos \left[ {{{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = - {1 \over 9} \cr  & \Leftrightarrow {{2\pi } \over 3}\left( {2t - 1} \right) = \pm \alpha + k2\pi \cr  & \Leftrightarrow t = \pm {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2}\cr&\left( {\text{với}\,\cos \alpha = - {1 \over 9}} \right) \cr}$ 

Ta tìm k nguyên để $0 ≤ t ≤ 2$

- Với $t = {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2},$ ta có :

$0 \le t \le 2 \Leftrightarrow - {1 \over 3} - {\alpha \over {2\pi }} \le k \le 1 - {\alpha \over {2\pi }}$ 

Với $\cos \alpha = - {1 \over 9}$ ta chọn $α ≈ 1,682$

Khi đó $– 0,601 < k < 0,732$ suy ra $k = 0$ và $t ≈ 0,90$

- Với $t = - {{3\alpha } \over {4\pi }} + {1 \over 2} + {{3k} \over 2},$ ta có :

$0 \le t \le 2 \Leftrightarrow - {1 \over 3} + {\alpha \over {2\pi }} \le k \le 1 + {\alpha \over {2\pi }}$ 

Vì $α ≈ 1,682$ nên $– 0,066 < k < 1,267$, suy ra $k \in {\rm{\{ }}0;1\}$

Với $k = 0$, ta có $t ≈ 0,10$; với $k = 1$, ta có $t ≈ 1,60$

Kết luận : Trong khoảng 2 giây đầu tiên, có ba thời điểm mà người chơi đu cách vị trí cân bằng 2 mét, đó là $t ≈ 0,10$ giây; $t ≈ 0,90$ giây và $t ≈ 1,60$ giây.

 Loigiaihay.com