Câu 3 trang 9 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Lời giải chi tiết

- Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

- Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.

Mệnh đề P ⇔ Q  là mệnh đề đúng, vì:

+ Nếu ABCD là hình vuông thì ABCD cũng là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) và có 2 đường chéo vuông góc.

+ Nếu ABCD là hình chữ nhật và có 2 đường chéo vuông góc:

Do hình chữ nhậtcó 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên các tam giác OAD, OCD, OBC, ODA cân tại O. 

Mà AC vuông góc với BC nên ta suy ra các tam giác này vuông cân và bằng nhau (c.g.c)

Do đó AB = BC = CD = DA.

Vậy ABCD là hình vuông.

Loigiaihay.com