Bài 27 trang 32 SGK Hình học 10

Đề bài

Các điểm $M(2; 3); N(0; -4); P(-1; 6)$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác $ABC$. Tọa độ của đỉnh $A$ là:

a) $(1; 5)$                             b) $(-3; -1)$

c) $(-2; -7)$                       d) $(1; -10)$

Lời giải chi tiết

Cách 1:

M, N là trung điểm BC, CA nên MN là đường trung bình của tam giác.

$\Rightarrow MN= \frac{1}{2}AB$ và $MN//AB$ $\Rightarrow MN//AP$

Mà $AP = \frac{1}{2}AB \Rightarrow AP = MN$.

Do đó $APMN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {NM}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_P} - {x_A} = {x_M} - {x_N}\\ {y_P} - {y_A} = {y_M} - {y_N} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - {x_A} = 2 - 0\\ 6 - {y_A} = 3 - \left( { - 4} \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_A} = - 3\\ {y_A} = - 1 \end{array} \right.$

Cách 2:

Trung tuyến $AM$ cắt $PN$ tại $I$ thì $I$ là trung điểm của $PN$ nên $I( - {1 \over 2}; 1)$ và $I$ cũng là trung điểm của $AM$.

$\Rightarrow \left\{ \matrix{ {x_A} + {x_M} = 2{x_I} \hfill \cr {y_A} + {y_M} = 2{y_I} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_A} = 2{x_I} - {x_M} = - 3 \hfill \cr {y_A} = 2{y_I} - {y_M} = - 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $A(-3, -1) ⇒$ chọn B.

Cách 3:

M là trung điểm BC nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 2{x_M} = 4\\{y_B} + {y_C} = 2{y_M} = 6\end{array} \right.$

N là trung điểm CA nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_A} = 2{x_N} = 0\\{y_C} + {y_A} = 2{y_N} =  - 8\end{array} \right.$

P là trung điểm của AB nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_P} =  - 2\\{y_A} + {y_B} = 2{y_P} = 12\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} =  - 2\\{x_B} + {x_C} = 4\\{x_C} + {x_A} = 0\end{array} \right.$ ta được x_A = -3

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{y_A} + {y_B} = 12\\{y_B} + {y_C} = 6\\{y_C} + {y_A} =  - 8\end{array} \right.$ ta được ${y_A}= -1$

Vậy $A(–3 ; –1)$.

Loigiaihay.com