Bài 27 trang 32 SGK Hình học 10

Đề bài

Các điểm \(M(2; 3); N(0; -4); P(-1; 6)\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC, CA, AB\) của tam giác \(ABC\). Tọa độ của đỉnh \(A\) là:

a) \((1; 5)\)                             b) \((-3; -1)\)

c) \((-2; -7)\)                       d) \((1; -10)\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:

M, N là trung điểm BC, CA nên MN là đường trung bình của tam giác.

\( \Rightarrow MN= \frac{1}{2}AB\) và \(MN//AB\) \( \Rightarrow MN//AP\)

Mà \(AP = \frac{1}{2}AB \Rightarrow AP = MN\).

Do đó \(APMN\) là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {NM} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_P} - {x_A} = {x_M} - {x_N}\\
{y_P} - {y_A} = {y_M} - {y_N}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 1 - {x_A} = 2 - 0\\
6 - {y_A} = 3 - \left( { - 4} \right)
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} = - 3\\
{y_A} = - 1
\end{array} \right.\)

Cách 2:

Trung tuyến \(AM\) cắt \(PN\) tại \(I\) thì \(I\) là trung điểm của \(PN\) nên \(I( - {1 \over 2}; 1)\) và \(I\) cũng là trung điểm của \(AM\).

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_A} + {x_M} = 2{x_I} \hfill \cr
{y_A} + {y_M} = 2{y_I} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_A} = 2{x_I} - {x_M} = - 3 \hfill \cr
{y_A} = 2{y_I} - {y_M} = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A(-3, -1) ⇒\) chọn B.

Cách 3:

M là trung điểm BC nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 2{x_M} = 4\\{y_B} + {y_C} = 2{y_M} = 6\end{array} \right.\)

N là trung điểm CA nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} + {x_A} = 2{x_N} = 0\\{y_C} + {y_A} = 2{y_N} =  - 8\end{array} \right.\)

P là trung điểm của AB nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_P} =  - 2\\{y_A} + {y_B} = 2{y_P} = 12\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} =  - 2\\{x_B} + {x_C} = 4\\{x_C} + {x_A} = 0\end{array} \right.\) ta được x_A = -3

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{y_A} + {y_B} = 12\\{y_B} + {y_C} = 6\\{y_C} + {y_A} =  - 8\end{array} \right.\) ta được \({y_A}= -1\)

Vậy \(A(–3 ; –1)\).

Loigiaihay.com