Bài 2 trang 93 SGK Hình học 10

Đề bài

Cho $A(1; 2), \, \, B(-3; 1)$ và $C(4; -2)$. Tìm tập hợp điểm $M$  sao cho $M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}$

Lời giải chi tiết

Gọi $(x; y)$ là tọa độ của điểm $M$.

$\begin{array}{l} AM = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} \\ \Rightarrow A{M^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}\\ = {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4\\ = {x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 5\\ BM = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \\ \Rightarrow B{M^2} = {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\ = {x^2} + 6x + 9 + {y^2} - 2y + 1\\ = {x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 10\\ CM = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \\ \Rightarrow C{M^2} = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\\ = {x^2} - 8x + 16 + {y^2} + 4y + 4\\ = {x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20 \end{array}$

Theo giả thiết, ta có: $M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{M^2} + B{M^2} = C{M^2}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 5} \right)\\ \,\, + \left( {{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 10} \right)\\ \,\, = {x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20\\ \Leftrightarrow (2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 6y + 15)\\ - \left( {{x^2} + {y^2} - 8x + 4y + 20} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 12x - 10y - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 12x + 36} \right) + \left( {{y^2} - 10y + 25} \right) - 66 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 66 \end{array}$

Vậy quỹ tích các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $M{A^2} + M{B^2} = M{C^2}$ là đường tròn tâm $I (-6; 5)$ và bán kính $R  = \sqrt{66}$.

Loigiaihay.com