Bài 2 trang 155 SGK Đại số 10

Đề bài

Nêu định nghĩa của $\tan α, \, \, \cot α$ và giải thích vì sao ta có:

$\tan(α+kπ) = \tanα; k ∈\mathbb Z$

$\cot(α+kπ) = \cotα; k ∈\mathbb Z$

Lời giải chi tiết

Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm $M(x;y)$ sao cho số đo cung $AM$ bằng $\alpha$.

Khi đó,

+) Nếu $\cos \alpha \ne 0$ thì tỉ số $\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{y}{x}$ được gọi là $\tan \alpha$.

+) Nếu $\sin \alpha \ne 0$ thì $\dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{x}{y}$ được gọi là $\cot \alpha$.

Lấy điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $O$. Khi đó các cung lượng giác có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $M$ và cung lượng giác có điểm đầu là $A$ điểm cuối là $M'$ hơn kém nhau $k\pi , k\in Z$ hay $sdAM'=\alpha +k\pi$

Dễ thấy $M'\left( { - x; - y} \right)$ nên:

$\tan \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \dfrac{{ - y}}{{ - x}} = \dfrac{y}{x} = \tan \alpha$ và $\cot \left( {\alpha  + k\pi } \right) = \dfrac{{ - x}}{{ - y}} = \dfrac{x}{y} = \cot \alpha$

Cách khác:

$\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }},\cot \alpha  = {{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }}$

Suy ra $\tan (\alpha  + k\pi ) = {{\sin (\alpha  + k\pi )} \over {\cos (\alpha  + k\pi )}}$

+) Nếu $k$ chẵn ta có:

$\sin(α+kπ) = \sin α$

$\cos(α+kπ) = \cos α$

+) Nếu $k$ lẻ ta có:

$\sin(α+kπ) = - \sin α$

$\cos(α+kπ) = - \cos α$

Suy ra $\tan(α+kπ) = \tanα ; \,  k ∈\mathbb Z.$

Tương tự ta có: $\cot(α+kπ) = \cotα;\,  k ∈\mathbb Z.$

Loigiaihay.com