Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì:

 \({\left({{a + b + c + d} \over 4}\right)^4} \ge abcd\)

Lời giải chi tiết

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a + b + c + d}}{4} = \frac{1}{2}.\frac{{a + b + c + d}}{2}\\
= \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{2} + \frac{{c + d}}{2}} \right)\\
\ge \frac{1}{2}.\left( {\frac{{2\sqrt {ab} }}{2} + \frac{{2\sqrt {cd} }}{2}} \right)\\
= \frac{1}{2}\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {cd} } \right)\\
\ge \frac{1}{2}.2\sqrt {\sqrt {ab} .\sqrt {cd} } = \sqrt[4]{{abcd}}\\
\Rightarrow \frac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt[4]{{abcd}}\\
\Rightarrow {\left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} \ge {\left( {\sqrt[4]{{abcd}}} \right)^4}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} \ge abcd
\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}
a = b\\
c = d\\
\sqrt {ab} = \sqrt {cd}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow a = b = c = d\)

Loigiaihay.com