Câu 18 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Lời giải chi tiết

Ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

⇔ a² + b² + c² +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a² + 3b² + 3c²

⇔ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

⇔ (a² - 2ab + b² )+ (b² - 2bc + c² )+ (c² - 2ca + a² )≥ 0

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² ≥ 0   (luôn đúng do (a – b)² ≥ 0, (b – c)² ≥ 0, (c – a)² ≥ 0).

Vậy (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²).

Dấu = xảy ra khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\
{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\
{\left( {c - a} \right)^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)

Loigiaihay.com