Bài 12 trang 51 SGK Đại số 10

LG a

Đi qua ba điểm $A(0;-1), B(1; -1), C(-1; 1)$

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm A, B và C vào công thức hàm số sau đó giải hệ phương trình để tìm a, b và c.

Lời giải chi tiết:

Parabol $y = ax^2+bx+c$ đi qua ba điểm $A(0;-1), B(1; -1), C(-1; 1)$ nên tọa độ $A,B,C$ thỏa mãn phương trình parabol ta được hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ - 1 = a.0^2 + b.0 + c \hfill \cr  - 1 = a{.1^2} + b.1 + c \hfill \cr  1 = a{( - 1)^2} + b( - 1) + c \hfill \cr} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = - 1\\a - b + c = 1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b = 0\\a - b = 2\end{array} \right.\\⇔\left\{ \matrix{a = 1 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr c = - 1 \hfill \cr} \right.$

Parabol có phương trình: $y = x^2– x – 1.$

LG b

Đi qua điểm $D(3; 0)$ và có đỉnh $I(1; 4).$

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm I và D vào hàm số ta được hai phương trình.

Ngoài ra I là đỉnh nên $x_I=-\dfrac{b}{2a}.$

Từ các điều trên ta giải hệ tìm a, b và c.

Lời giải chi tiết:

Parabol $y = ax^2+bx+c$ đi qua điểm $D(3; 0)$ nên $0 = a{.3^2} + b.3 + c$

$\Leftrightarrow 9a + 3b + c = 0$ (1)

Parabol có đỉnh $I(1; 4)$ nên $- \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a$

$\Leftrightarrow b = -2a$  (2)

$- \frac{\Delta }{{4a}} = 4 \Leftrightarrow  - \Delta  = 16a$ $\Leftrightarrow  - \left( {{b^2} - 4ac} \right) = 16a$

$\Leftrightarrow  - {b^2} + 4ac = 16a$  (3)

Thay (2) vào (3) ta được:

$- {\left( { - 2a} \right)^2} + 4ac = 16a$ $\Leftrightarrow  - 4{a^2} + 4ac = 16a$ $\Leftrightarrow 4ac = 16a + 4{a^2}$

$\Leftrightarrow c = \frac{{16a + 4{a^2}}}{{4a}} = 4 + a$  (4)

Thay (2) và (4) vào (1) ta được:

$9a + 3.\left( { - 2a} \right) + \left( {4 + a} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 9a - 6a + 4 + a = 0$ $\Leftrightarrow 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a =  - 1$

Do đó b=2, c=3.

Phương trình parabol : $y = -x^2+2x+3$.

Cách khác:

Parabol có đỉnh I(1 ; 4) ⇒ –b/2a = 1 ⇒ b = –2a ⇒ 2a + b = 0 (1)

Parabol đi qua I(1; 4) ⇒ $4 = a{.1^2} + b.1 + c$ $\Leftrightarrow a + b + c = 4$  (2)

Paraol đi qua D(3; 0) ⇒ $0 = a{.3^2} + b.3 + c$⇒ 9a + 3b + c = 0 (3)

Từ (1) (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b + c = 4\\9a + 3b + c = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a - 2a + c = 4\\9a + 3.\left( { - 2a} \right) + c = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\ - a + c = 4\\3a + c = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\c = 3\\b = 2\end{array} \right.$

Vậy a = –1 ; b = 2 ; c = 3 ta có phương trùng parabol là $y =  - {x^2} + 2x + 3$.

Loigiaihay.com