Bài 12 trang 51 SGK Đại số 10

LG a

Đi qua ba điểm \(A(0;-1), B(1; -1), C(-1; 1)\)

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm A, B và C vào công thức hàm số sau đó giải hệ phương trình để tìm a, b và c.

Lời giải chi tiết:

Parabol \(y = ax^2+bx+c\) đi qua ba điểm \(A(0;-1), B(1; -1), C(-1; 1)\) nên tọa độ \(A,B,C\) thỏa mãn phương trình parabol ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
- 1 = a.0^2 + b.0 + c \hfill \cr 
- 1 = a{.1^2} + b.1 + c \hfill \cr 
1 = a{( - 1)^2} + b( - 1) + c \hfill \cr} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b + c = - 1\\a - b + c = 1\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a + b = 0\\a - b = 2\end{array} \right.\\⇔\left\{ \matrix{a = 1 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr c = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Parabol có phương trình: \(y = x^2– x – 1.\)

LG b

Đi qua điểm \(D(3; 0)\) và có đỉnh \(I(1; 4).\)

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm I và D vào hàm số ta được hai phương trình.

Ngoài ra I là đỉnh nên \(x_I=-\dfrac{b}{2a}.\)

Từ các điều trên ta giải hệ tìm a, b và c.

Lời giải chi tiết:

Parabol \(y = ax^2+bx+c\) đi qua điểm \(D(3; 0)\) nên \(0 = a{.3^2} + b.3 + c \)

\(\Leftrightarrow 9a + 3b + c = 0\) (1)

Parabol có đỉnh \(I(1; 4)\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a\)

\( \Leftrightarrow b = -2a\)  (2)

\( - \frac{\Delta }{{4a}} = 4 \Leftrightarrow  - \Delta  = 16a\) \( \Leftrightarrow  - \left( {{b^2} - 4ac} \right) = 16a \)

\(\Leftrightarrow  - {b^2} + 4ac = 16a\)  (3)

Thay (2) vào (3) ta được:

\( - {\left( { - 2a} \right)^2} + 4ac = 16a\) \( \Leftrightarrow  - 4{a^2} + 4ac = 16a \) \( \Leftrightarrow 4ac = 16a + 4{a^2}\)

\(  \Leftrightarrow c = \frac{{16a + 4{a^2}}}{{4a}} = 4 + a\)  (4)

Thay (2) và (4) vào (1) ta được:

\(9a + 3.\left( { - 2a} \right) + \left( {4 + a} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 9a - 6a + 4 + a = 0 \) \(\Leftrightarrow 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Do đó b=2, c=3.

Phương trình parabol : \(y = -x^2+2x+3\).

Cách khác:

Parabol có đỉnh I(1 ; 4) ⇒ –b/2a = 1 ⇒ b = –2a ⇒ 2a + b = 0 (1)

Parabol đi qua I(1; 4) ⇒ \(4 = a{.1^2} + b.1 + c\) \( \Leftrightarrow a + b + c = 4\)  (2)

Paraol đi qua D(3; 0) ⇒ \(0 = a{.3^2} + b.3 + c\)⇒ 9a + 3b + c = 0 (3)

Từ (1) (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b + c = 4\\9a + 3b + c = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\a - 2a + c = 4\\9a + 3.\left( { - 2a} \right) + c = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\\ - a + c = 4\\3a + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\c = 3\\b = 2\end{array} \right.\)

Vậy a = –1 ; b = 2 ; c = 3 ta có phương trùng parabol là \(y =  - {x^2} + 2x + 3\).

Loigiaihay.com