Bài 12 trang 144 SGK Giải tích 12

Đề bài

Cho hai số phức $z_1, z_2$. Biết rằng $z_1 + z_2$ và $z_1. z_2$ là hai số thực. Chứng minh rằng $z_1, z_2$ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Lời giải chi tiết

Đặt $z_1 + z_2 = a$; $z_1. z_2 = b; a, b ∈ \mathbb R$

Khi đó, $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm của phương trình  

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} - z.{z_2} - z.{z_1} + {z_1}{z_2} = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} - az + b = 0 \end{array}$

Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.

Loigiaihay.com