Bài 11 trang 125 SGK Hình học 11

Đề bài

Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh $a$ là bằng:

(A) ${{3a} \over 2}$                    (B) ${{a\sqrt 2 } \over 2}$

(C) ${{a\sqrt 3 } \over 2}$                  (D) $a\sqrt2$

Lời giải chi tiết

Gọi $I$ là trung điểm cạnh $AB$; $J$ là trung điểm của cạnh $CD$.

Ta có: $\Delta ACD = \Delta BCD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AJ = BJ$ (hai đường trung tuyến tương ứng).

$\Rightarrow \Delta JAB$ cân tại J $\Rightarrow JI \bot AB$.

Chứng minh tương tự $\Delta ICD$ cân tại I $\Rightarrow IJ \bot CD$.

$\Rightarrow IJ$ là đoạn vuông góc của cạnh $AB$ và $CD$.

$\Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = IJ$

Tứ diện cạnh a nên:

$\eqalign{ & BJ = {{a\sqrt 3 } \over 2},BI = {a \over 2} \cr & \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = B{J^2} - B{I^2} \cr & \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{2{a^2}} \over 4} \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr}$

Vậy $d\left( {AB;CD} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Loigiaihay.com