Bài 11 trang 125 SGK Hình học 11

Đề bài

Khoảng cách giữa hai cạnh đối của một tứ diện đều cạnh \(a\) là bằng:

(A) \({{3a} \over 2}\)                    (B) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)

(C) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\)                  (D) \(a\sqrt2\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(AB\); \(J\) là trung điểm của cạnh \(CD\).

Ta có: \(\Delta ACD = \Delta BCD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AJ = BJ\) (hai đường trung tuyến tương ứng).

\( \Rightarrow \Delta JAB\) cân tại J \( \Rightarrow JI \bot AB\).

Chứng minh tương tự \(\Delta ICD\) cân tại I \(\Rightarrow IJ \bot CD\).

\(\Rightarrow IJ\) là đoạn vuông góc của cạnh \(AB\) và \(CD\).

\( \Rightarrow d\left( {AB;CD} \right) = IJ\)

Tứ diện cạnh a nên:

\(\eqalign{
& BJ = {{a\sqrt 3 } \over 2},BI = {a \over 2} \cr
& \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = B{J^2} - B{I^2} \cr
& \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{2{a^2}} \over 4} \Rightarrow {\rm{I}}{{\rm{J}}^2} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Vậy \(d\left( {AB;CD} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Loigiaihay.com