Bài 11 trang 108 SGK Đại số và Giải tích 11

Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Quảng cáo

Đề bài

Biết rằng ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân và ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức SHTQ và tính chất của CSC và CSN.

Lời giải chi tiết

Giả sử ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân với công bội \(q\) ta có: \(y = x.q\) và \(z = y.q = x.q^2\).

Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên:

\(x + 3z = 2. 2y \)

\(⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\)

\( \Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0\)

\(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 \)

\(⇔ x = 0\) hoặc \(3q^2– 4q + 1 = 0\)

Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) không xác định (loại)

Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Gọi công bội của CSN \(x ; y ; z\) là \(q\).

\(\Rightarrow {\rm{ }}y = x.q{\rm{ }};{\rm{ }}z = x.{q^2}.\)

Lại có : \(x ; 2y ; 3z\) lập thành CSC

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3z{\rm{ }}-{\rm{ }}2y}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}2.xq{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3.x{q^2}\;-{\rm{ }}2.xq}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}x\left( {2q{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}x.\left( {3{q^2}\;-{\rm{ }}2q} \right)}\\
{ \Leftrightarrow {\rm{ }}x.\left( {3{q^2}\;-{\rm{ }}4q{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0}
\end{array}\)

+ Nếu \(x = 0{\rm{ }} \Rightarrow y = z = 0\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}q\) không xác định (loại).

+ Nếu \(x \ne 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}3{q^2}--4q + 1 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}q = 1\) hoặc \(q = \frac{1}{3}\)

Vậy CSN có công bội \(q = 1\) hoặc \(q = \frac{1}{3}\)

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close