Bài 11 trang 108 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Biết rằng ba số $x, y, z$ lập thành một cấp số nhân và ba số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Giả sử ba số $x, y, z$ lập thành một cấp số nhân với công bội $q$ ta có: $y = x.q$ và $z = y.q = x.q^2$.

Ba số $x, 2y, 3z$ lập thành một cấp số cộng nên:

$x + 3z = 2. 2y$

$⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)$

$\Leftrightarrow x + 3x{q^2} - 4xq = 0$

$⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0$

$⇔ x = 0$ hoặc $3q^2– 4q + 1 = 0$

Nếu $x = 0$ thì $x = y= z= 0$, $q$ không xác định (loại)

Nếu $x ≠ 0$ thì $3q^2- 4q + 1 = 0⇔\left[ \matrix{q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.$

Cách khác:

Gọi công bội của CSN $x ; y ; z$ là $q$.

$\Rightarrow {\rm{ }}y = x.q{\rm{ }};{\rm{ }}z = x.{q^2}.$

Lại có : $x ; 2y ; 3z$ lập thành CSC

$\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3z{\rm{ }}-{\rm{ }}2y}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}2.xq{\rm{ }}-{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}3.x{q^2}\;-{\rm{ }}2.xq}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}x\left( {2q{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}x.\left( {3{q^2}\;-{\rm{ }}2q} \right)}\\ { \Leftrightarrow {\rm{ }}x.\left( {3{q^2}\;-{\rm{ }}4q{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0} \end{array}$

+ Nếu $x = 0{\rm{ }} \Rightarrow y = z = 0$

$\Rightarrow {\rm{ }}q$ không xác định (loại).

+ Nếu $x \ne 0{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}3{q^2}--4q + 1 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}q = 1$ hoặc $q = \frac{1}{3}$

Vậy CSN có công bội $q = 1$ hoặc $q = \frac{1}{3}$

 Loigiaihay.com