Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trên mặt phẳng toạ độ - Toán 10

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(ax + by + c = 0\) (\({a^2} + {b^2} > 0\)) và điểm \(M({x_0};{y_0})\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d(M,\Delta )\), được tính bởi công thức sau:

\(d(M,\Delta ) = \frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Chú ý: Nếu \(M \in \Delta \) thì \(d(M,\Delta ) = 0\).

1) Tính khoảng cách từ các điểm O(0; 0), M(1; 2) đến đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + 5 = 0\).

Giải:

\(d(O,\Delta ) = \frac{{|4.0 + 3.0 + 5|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{5} = 1\).

\(d(M,\Delta ) = \frac{{|4.1 + 3.2 + 5|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3\).

2) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2; 1) và \(\Delta :2x - 3y + 5 = 0\).

b) M(1; -3) và \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 3t}\\{y = 2 - 4t.}\end{array}} \right.\)

Giải:

a) Ta có: \(d(M,\Delta ) = \frac{{|2.( - 2) - 3.1 + 5|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(N( - 2;2)\), có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (4;3)\).

Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là \(4(x + 2) + 3(y - 2) = 0\). Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(4x + 3y + 2 = 0\).

Vậy \(d(M,\Delta ) = \frac{{|4.1 + 3.( - 3) + 2|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{5}\).

3) Trong một khu vực bằng phẳng, ta lấy hai xa lộ vuông góc với nhau làm hai trục toạ độ và mỗi đơn vị độ dài trên trục tương ứng với 1 km. Cho biết với hệ trục toạ độ vừa chọn thì một trạm viễn thông T có toạ độ (2; 3). Một người đang gọi điện thoại di động trên chiếc xe khách chạy trên đoạn cao tốc có dạng một đường thẳng \(\Delta \) có phương trình 6x + 8y – 5 = 0. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông T.

Giải:

Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông T chính là khoảng cách từ T đến đường thẳng \(\Delta \). Ta có: \(d(T,\Delta ) = \frac{{|6.2 + 8.3 - 5|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \frac{{31}}{{10}} = 3,1\) (km).