Cách lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm - Toán 10

Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Để lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C, ta thực hiện:

B1: Giả sử I là tâm đường tròn. Ta có \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{({x_A} - {x_I})^2} + {({y_A} - {y_I})^2} = {({x_B} - {x_I})^2} + {({y_B} - {y_I})^2}\\{({x_B} - {x_I})^2} + {({y_B} - {y_I})^2} = {({x_C} - {x_I})^2} + {({y_C} - {y_I})^2}\end{array} \right.\).

Giải hệ trên tìm \({x_I}\), \({y_I}\). Ta được toạ độ tâm I.

B2: Tính bán kính \(R = IA = IB = IC\).

B3: Lập phương trình đường tròn tâm I, bán kính R:

\({(x - {x_I})^2} + {(y - {y_I})^2} = {R^2}\).

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 1), B(0; -2), C(0; 2).

Giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b). Ta có \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).

Vì \(I{A^2} = I{B^2}\), \(I{B^2} = I{C^2}\) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{( - 1 - a)}^2} + {{(1 - b)}^2} = {{(0 - a)}^2} + {{( - 2 - b)}^2}}\\{{{(0 - a)}^2} + {{( - 2 - b)}^2} = {{(0 - a)}^2} + {{(2 - b)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} + 2a - 2b + 2 = {a^2} + {b^2} + 4b + 4}\\{{a^2} + {b^2} + 4b + 4 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2a - 2b = 4b + 2}\\{8b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 0}\end{array}} \right.\).

Đường tròn tâm I(1; 0) bán kính \(R = IC = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 4b + 4}  = \sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {(y - 0)^2} = {(\sqrt 5 )^2}\).

Vậy phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {y^2} = 5\).