Bài 9 trang 132 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $AB < AC$, $D$ là một điểm nằm giữa $A$ và $C$. Chứng minh rằng : $\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD$

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh $\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Rightarrow A{B^2} = AC.AD$

Xét $∆ABD$ và $∆ACB$ có:

$\widehat A$ chung (gt)

$\widehat {ABD} = \widehat {ACB}$ (gt)

$\Rightarrow$ $∆ABD ∽ ∆ACB$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AC.AD$

b) Chứng minh $A{B^2} = AC.AD \Rightarrow  \widehat {ABD} = \widehat {ACB}$

 $A{B^2} = AC.AD\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$

Xét $∆ABD$ và $∆ACB$ có:

$\widehat A$ chung 

$\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$

Suy ra $∆ABD ∽ ∆ACB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ACB}$ (Tính chất hai tam giác đồng dạng).

Vậy $\widehat {ABD} = \widehat {ACB} \Leftrightarrow A{B^2} = AC.AD$

Loigiaihay.com