Bài 9 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2Giải bài tập Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Từ một điểm M tùy ý trên dây BC, kẻ các đường thẳng song song với AC và AB, chúng cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Gọi D là điểm đối xứng của M qua đường thẳng PQ. Chứng minh D nằm trên đường tròn (O). Phương pháp giải - Xem chi tiết +) Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \). +) Chứng minh P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và \(\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha \). +) Chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và \(\widehat {MQC} = \alpha \) +) Tính \(\widehat {BDM};\,\,\widehat {MDC}\) theo \(\alpha \), chứng minh \(\widehat {BDC} = \alpha \). Lời giải chi tiết
Đặt \(\widehat {BAC} = \alpha \). Ta có: PM // AC nên \(\widehat {BPM} = \widehat {BAC} = \alpha \) (hai góc đồng vị bằng nhau) Áp dụng định lí Ta-let ta có : \(\dfrac{{PM}}{{AC}} = \dfrac{{BP}}{{AB}}\). Mà \(AB = AC \Rightarrow PM = PB\). Vì D đối xứng M qua PQ nên PQ là trung trực của MD \( \Rightarrow PM = PD\). \( \Rightarrow PM = PD = PB \Rightarrow P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM. \( \Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\widehat {BPM}\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung) \( \Rightarrow \widehat {BDM} = \dfrac{1}{2}\alpha \). Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM và \(\widehat {MQC} = \alpha \) \( \Rightarrow \widehat {MDC} = \dfrac{1}{2}\widehat {MQC} = \dfrac{1}{2}\alpha \) (góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung) \( \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {BDM} + \widehat {MDC} \)\(\,= \dfrac{1}{2}\alpha + \dfrac{1}{2}\alpha = \alpha = \widehat {BAC}\) \(\Rightarrow \) Tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc cùng chắn 1 cung bằng nhau). Vậy D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Loigiaihay.com
Quảng cáo
|