Bài 83 trang 33 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Tìm $n \in\mathbb Z$  để  $2{n^2} - n + 2$  chia hết cho $2n +1$.

Lời giải chi tiết

Thực hiện phép chia $2n^2 – n + 2$ cho $2n + 1$ ta có:

Để $2n^2 – n + 2$ chia hết cho $2n + 1$ thì $3$ chia hết cho $2n+1$

Suy ra $2n + 1$ phải là ước của $3$, hay $2n+1 \in \{1;\;-1;\; 3;\; -3\}$.

+)  $2n + 1 = 1 \Rightarrow  2n = 0  \Rightarrow n = 0$

+)  $2n + 1 =  - 1 \Rightarrow 2n = - 2 \Rightarrow n =  - 1$ 

+)  $2n + 1 = 3 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1$

+)  $2n + 1 =  - 3 \Rightarrow 2n =  - 4 \Rightarrow n =  - 2$

Vậy $n \in \{  \;-2; -1;0\,;\; 1\}$

Cách khác:

Ta có: 

$\eqalign{ & {{2{n^2} - n + 2} \over {2n + 1}} \cr & = {{2{n^2} + n - 2n - 1 + 3} \over {2n + 1}} \cr & = {{\left( {2{n^2} + n} \right) + \left( { - 2n - 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} \cr & = {{n\left( {2n + 1} \right) - \left( {2n + 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} \cr & = {{\left( {2n + 1} \right)\left( {n - 1} \right) + 3} \over {2n + 1}} \cr & = n - 1 + {3 \over {2n + 1}} \cr}$

Để $2{n^2} - n + 2$ chia hết cho $2n  + 1$ (với $n \in\mathbb Z)$ thì $3$ chia hết cho $2n+1$

Suy ra, $2n + 1$ phải là ước của $3$, hay $2n+1 \in \{1;\;-1;\; 3;\; -3\}$.

+)  $2n + 1 = 1 \Rightarrow  2n = 0  \Rightarrow n = 0$

+)  $2n + 1 =  - 1 \Rightarrow 2n = - 2 \Rightarrow n =  - 1$ 

+)  $2n + 1 = 3 \Rightarrow 2n = 2 \Rightarrow n = 1$

+)  $2n + 1 =  - 3 \Rightarrow 2n =  - 4 \Rightarrow n =  - 2$

Vậy $n \in \{  \;-2; -1;0\,;\; 1\}$

Loigiaihay.com