Bài 82 trang 33 SGK Toán 8 tập 1

LG a.

${x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0$  với mọi số thực $x$ và $y$;

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

- Tính chất: ${\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0$ với mọi số thực $A,B$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

${x^2} - 2xy + {y^2} + 1$

$= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1$

$={\left( {x - y} \right)^2} + 1$

Do ${\left( {x - y} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x, y$.

Nên ${\left( {x - y} \right)^2} +1\ge 1>0$ với mọi $x, y$.

Vậy ${x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0$  với mọi số thực $x$ và $y$. 

LG b.

$x - {x^2} - 1 < 0$  với mọi số thực $x$.

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

- Tính chất: ${\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0$ với mọi số thực $A,B$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$x - {x^2} - 1$

$=  - \left( {{x^2} - x + 1} \right)$

$=  - \left[ {{x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right]$

$=  - \left[ {{x^2} - 2x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] - \dfrac{3}{4}$

$=  - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}$   

Do ${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0$ với mọi $x$ nên $- {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \leqslant 0$ với mọi $x$.

Suy ra $- {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}\le - \dfrac{3}{4}<0$ với mọi $x$,

Vậy $x - {x^2} - 1 < 0$  với mọi số thực $x$.

Loigiaihay.com