Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho phương trình $3x^2– 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0$.

Xác định $m$ để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Lời giải chi tiết

Ta có : 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

(1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

⇔ (m + 1)² – 3.(3m – 5) > 0

⇔ m² + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

⇔ m² – 7m + 16 > 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\frac{7}{2} + \frac{{49}}{4} + \frac{{15}}{4} > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \frac{7}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0 \end{array}$

Điều này luôn đúng với mọi m ∈ R hay phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Gọi hai nghiệm đó là x₁; x₂

Phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia nên giả sử $\displaystyle {x_2} = 3{x_1}$.

Theo định lí Vi - et ta có:

${x_1} + {x_2} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}$

$\Rightarrow {x_1} + 3{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}$

$\Leftrightarrow 4{x_1} = \frac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}$

$\Leftrightarrow {x_1} = \frac{{m + 1}}{6}$

Thay $\displaystyle x_1=\dfrac{m+1}{6}$ vào phương trình ta được:

$3.{\left( {{{m + 1} \over 6}} \right)^2} - 2(m + 1).{{m + 1} \over 6}$$+ 3m - 5 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{3{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{36}} - \frac{{2{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{6} + 3m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{3} + 3m - 5 = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} - \frac{{4{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} + \frac{{12\left( {3m - 5} \right)}}{{12}} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 12\left( {3m - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 3{\left( {m + 1} \right)^2} + 12\left( {3m - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) + 36m - 60 = 0\\ \Leftrightarrow - 3{m^2} - 6m - 3 + 36m - 60 = 0\\ \Leftrightarrow - 3{m^2} + 30m - 63 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = 7 \end{array} \right. \end{array}$

+) Với $\displaystyle m = 3$ ta có phương trình 3x² – 8m + 4 = 0

PT có hai nghiệm x₁ = 2/3 và x₂ = 2 thỏa mãn điều kiện.

+) Với m = 7 ta có phương trình 3x² – 16m + 16 = 0

PT có hai nghiệm x₁ = 4/3 và x₂ = 4 thỏa mãn điều kiện.

Vậy,

Với m=3 thì pt có hai nghiệm $\displaystyle x_1=\dfrac{2}{3}$;$\displaystyle x_2= 2$.

Với $\displaystyle m = 7$ phương trình có hai nghiệm $\displaystyle x_1=\dfrac{4}{3}$;$\displaystyle x_2= 4$.

Cách khác:

Sau khi tìm được ${x_1} = \frac{{m + 1}}{6}$ ta suy ra ${x_2} = 3{x_1} = 3.\frac{{m + 1}}{6} = \frac{{m + 1}}{2}$

Theo Viet ta có:

$\begin{array}{l} {x_1}{x_2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\ \Rightarrow \frac{{m + 1}}{6}.\frac{{m + 1}}{2} = \frac{{3m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} = \frac{{3m - 5}}{3}\\ \Leftrightarrow 3{\left( {m + 1} \right)^2} = 12\left( {3m - 5} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) = 36m - 60\\ \Leftrightarrow 3{m^2} + 6m + 3 - 36m + 60 = 0\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 30m + 63 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 3\\ m = 7 \end{array} \right. \end{array}$

Từ đó các em cũng ra được đáp án cần tìm.

Loigiaihay.com