Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với đáy và $AB = a, AD = b, SA =c$. Lấy các điểm $B', D'$ theo thứ tự thuộc $SB, SD$ sao cho $AB'$ vuông góc với $SB, AD'$ vuông góc với $SD$. Mặt phẳng $(AB'D')$ cắt $SC$ tại $C'$. Tính thể tích khối chóp $S.AB'C'D'$.

Lời giải chi tiết

Ta có $BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$ $\Rightarrow BC\bot AB'$

Theo giả thiết $SB \bot AB'$ $\Rightarrow AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC$         (1)

Chứng minh tương tự ta có: $AD' \bot SC$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $SC \bot (AB'C'D')$ hay $SC' \bot (AB'C'D')$

Do đó $SC'$ là đường cao của hình chóp $S.AB'C'D'$.

Từ $AB' \bot (SBC)$ $\Rightarrow AB' \bot B'C'$

Tương tự ta có: $AD' \bot D'C'$

$\Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {S_{AB'C'}} + {S_{AD'C'}}$

$= \dfrac{1}{2}AB'.B'C' + \dfrac{1}{2}AD'.D'C'$ $= \dfrac{1}{2}\left( {AB'.B'C' + AD'.D'C'} \right)$

Từ các kết quả trên, ta được:

$\displaystyle{V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')$

$\displaystyle ={1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')$     (*)

Ta tính các yếu tố trên.

Tam giác vuông $SAB$ có $AB'$ là đường cao, nên ta có:

$\displaystyle{1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}$ $\displaystyle \Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}$

Tương tự, ta có:

$\displaystyle AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$

Ta lại có: $SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

Trong tam giác vuông $SAC, AC'$ là đường cao

$\Rightarrow SC'.SC = SA^2$ $\displaystyle \Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

$∆SBC$ đồng dạng  $∆SC'B'$ (g.g)$\displaystyle \Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}$

$\displaystyle \Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Tương tự ta có:  $\displaystyle D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Thay các kết quả này vào (*) ta được:

$\displaystyle V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}$

Loigiaihay.com