Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên tạo với đáy một góc $60^0$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng đi qua $AM$ và song song với $BD$, cắt $SB$ tại $E$ và cắt $SD$ tại $F$. Tính thể tích khối chóp $S.AEMF$.

Lời giải chi tiết

Gọi $\displaystyle H = AC \cap BD$.

Hình chóp $\displaystyle S.ABCD$ là hình chóp đều nên chân $\displaystyle H$ của đường cao $\displaystyle SH$ chính là tâm của đáy.

Mặt phẳng đi qua $\displaystyle AM$ và song song với $\displaystyle BD$ cắt mặt phẳng $\displaystyle (SDB)$ theo một giao tuyến song song với $\displaystyle BD$\. Ta dựng giao tuyến $\displaystyle EF$ như sau: Gọi $\displaystyle I$ là giao điểm của $\displaystyle AM$ và $\displaystyle SH$. Qua $\displaystyle I$ ta dựng một đường thẳng song song với $\displaystyle BD$, đường này cắt $\displaystyle SB$ ở $\displaystyle E$ và cắt $\displaystyle SD$ ở $\displaystyle F$.

Ta có: $\displaystyle HA$ là hình chiếu vuông góc của $\displaystyle SA$ trên $\displaystyle (ABCD)$ $\displaystyle \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;AH} \right)} = \widehat {SAH} = {60^0}$

Tam giác cân $\displaystyle SAC$ có $\displaystyle SA = SC$ và góc $\displaystyle SAC = 60^0$ nên nó là tam giác đều: $\displaystyle I$ là giao điểm của các trung tuyến $\displaystyle AM$ và $\displaystyle AH$ nên $I$ là trọng tâm của tam giác đều $SAC$ $\displaystyle \Rightarrow {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}$

Do $\displaystyle EF // DB$ $\displaystyle \Rightarrow {{{\rm{EF}}} \over {DB}} = {{SF} \over {SD}} = {{SE} \over {SB}} = {{SI} \over {SH}} = {2 \over 3}$

Vì $\displaystyle DB = a\sqrt2$ $\displaystyle  \Rightarrow {\rm{EF}} = {{2a\sqrt 2 } \over 3}$

Tam giác $\displaystyle SAC$ là tam giác đều nên $\displaystyle AM = {{AC\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}$

Ta lại có $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$ $\Rightarrow BD \bot AM \Rightarrow AM \bot EF$

Tứ giác $\displaystyle AEMF$ có hai đường chéo vuông góc với nhau nên có diện tích: $\displaystyle {S_{AEMF}} = {1 \over 2}{\rm{EF}}.AM = {1 \over 2}.{{2a\sqrt 2 } \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}$

Mặt khác, tam giác $\displaystyle ASC$ là tam giác đều, $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle SC$ nên $\displaystyle AM \bot SC$. Ta cũng có $\displaystyle DB \bot (SAM)$ $\displaystyle  \Rightarrow  DB \bot SC$ vì $\displaystyle DB // EF$ nên $\displaystyle EF \bot SC$. Từ kết quả trên, suy ra $\displaystyle SM \bot(AEMF)$.

Dễ thấy $\displaystyle SM = {{a\sqrt 2 } \over 2}$ (do tam giác $\displaystyle SAC$ đều). Do đó: $\displaystyle {V_{S.AEMF}} = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {{{a^3}\sqrt 6 } \over {18}}$.

Loigiaihay.com