Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12

LG a

a) Tính thể tích khối tứ diện $A'BB'C$.

Phương pháp giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$. Chứng minh $A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)$. Áp dụng công thức ${V_{A'BB'C}} = \dfrac{1}{3}A'M.{S_{BB'C}}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính thể tích hình chóp $\displaystyle A'.BCB'$.

Gọi $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle B'C'$, ta có: $\displaystyle A'M \bot B'C'$       (1)

Lăng trụ $\displaystyle ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên:

$\displaystyle BB' \bot (A'B'C') \Rightarrow BB' \bot A'M$           (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\displaystyle A'M \bot (BB'C')$ hay $\displaystyle A'M$ là đường cao của hình chóp $\displaystyle A'.BCB'$.

Ta có: $\displaystyle A'M$ = $\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2};{S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}}$ $\Rightarrow {V_{A'BB'C}} =\displaystyle {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$

Cách khác:

Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp $A’.ABC, C.A’B’C’$ và $C.A’BB’$

Ta có: ${V_{A'.ABC}} = {V_{A'B'C'}} =\displaystyle \frac{1}{3}Sh$ trong đó $S$ là diện tích đáy $S = {\rm{ }}{S_{ABC\;}} = {\rm{ }}{S_{ABC}}$ và $h$ là chiều cao của hình lăng trụ

Lại có: ${V_{ABC.ABC}}\; = {\rm{ }}S.h$

Do đó, ${V_{C.A'B'B}} =\displaystyle Sh - \frac{1}{3}Sh - \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh$

Trong đó, tam giác $ABC$ là tam giác đều có độ dài cạnh bằng $a$ nên $\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên $h = AA’ = BB’= CC’ = a.$

Vậy thể tích hình chóp $C.A’BB’$ là:

${V_{C.A'B'B}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$

LG b

b) Mặt phẳng đi qua $A'B'$ và trọng tâm tam giác $ABC$, cắt $AC$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Tính thể tích hình chóp $C.A'B'FE$.

Phương pháp giải:

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: $V = {V_{B'.CEF}} + {V_{B'.A'EC}} = {V_1} + {V_2}$

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình chóp $\displaystyle C.A'B'EF$ bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- $\displaystyle V_1$ là thể tích hình chóp đỉnh $\displaystyle B'$, đáy là tam giác $\displaystyle CEF$.

- $\displaystyle V_2$ là thể tích hình chóp đỉnh $\displaystyle B'$, đáy là tam giác $\displaystyle A'EC$.

Do $\displaystyle (ABC) // (A'B'C')$ nên dễ thấy $\displaystyle EF // AB$. Ta cũng có: $\displaystyle EF$ = $\displaystyle {2 \over 3}a$

Hình chóp $\displaystyle B'.CEF$ có chiều cao $\displaystyle BB' = a$ và diện tích đáy là: $\displaystyle {S_{C{\rm{EF}}}}=\frac{1}{2}EF.CG = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}$

Từ đây ta có: $\displaystyle {V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}$

Do $\displaystyle EC = {2 \over 3}AC$ nên $\displaystyle {S_{A'BE}} = \frac{1}{2}A'A.EC = \frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^2}}}{3}$

Gọi $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle A'C'$ ta có: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}B'I \bot A'C\\B'I \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'I \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow B'I \bot \left( {A'EC} \right)$

Hình chóp $\displaystyle B'.A'EC$ có chiều cao là $\displaystyle B'I$ bằng $\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}$ nên $\displaystyle {V_2} = \frac{1}{3}.B'I.{S_{A'EC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}$

Vậy thể tích hình chóp $\displaystyle C.A'B'FE$ là: $\displaystyle V = V_1 + V_2$ = $\displaystyle {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}$

Loigiaihay.com