Bài 79 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

$\left\{ \matrix{ {3.2^x} + {2.3^y} = 2,75 \hfill \cr  {2^x} - {3^y} = - 0,75\,; \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = {2^x},\,v = {3^y}\,\left( {u > 0,\,v > 0} \right)$

Ta có hệ phương trình: 

$\left\{ \matrix{ 3u + 2v = 2,75 \hfill \cr  u - v = - 0,75 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ u = {1 \over 4} \hfill \cr  v = 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {2^x} = {1 \over 4} \hfill \cr  {3^y} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr} \right.$                               

Vậy $S = \left\{ {\left( { - 2;0} \right)} \right\}$

LG b

$\left\{ \matrix{ {\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr  3 + {\log _2}y = {\log _2}5  \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\left\{ \matrix{ {\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr  3 + {\log _2}y = {\log _2}5  \left(1+ {3{{\log }_5}x} \right) \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _5}x + {\log _5}7.{\log _7}y = 1 + {\log _5}2\\ 3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}5.{\log _5}x \end{array} \right.$

Điều kiện: $x > 0$ và $y > 0$.

Khi đó ${\log _5}7.{\log _7}y={\log _5}y$ và ${\log _2}5.{\log _5}x = {\log _2}x$ nên hệ tương đương:

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {\log _5}x + {\log _5}y = 1 + {\log _5}2 \hfill \cr  3 + {\log _2}y = {\log _2}5 + 3{\log _2}x \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}x + {\log _5}y = {\log _5}5 + {\log _5}2\\{\log _2}{2^3} + {\log _2}y = {\log _2}5 + {\log _2}{x^3}\end{array} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\log _5}xy = {\log _5}10 \hfill \cr {\log _2}8y = {\log _2}5{x^3} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{xy = 10\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr 8y = 5{x^3}\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr}$                   

$\left( 2 \right) \Rightarrow y = {{5{x^3}} \over 8}$ thay vào (1) ta được:

${{5{x^4}} \over 8} = 10 \Leftrightarrow {x^4} = 16 \Leftrightarrow x = 2$ (vì $x > 0$)

Với $x = 2$ ta có $y = {{10} \over x} = 5$.

Vậy $S = \left\{ {\left( {2;5} \right)} \right\}$

Loigiaihay.com