Bài 77 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m =1.

Lời giải chi tiết:

Với m=1 hàm số có dạng: $y = {{x - 4} \over {2x - 2}}$

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$

$y' = {6 \over {{{\left( {2x - 2} \right)}^2}}} > 0\,,\forall x \in D$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

$\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }}  =  + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }}  =  - \infty$

Đường tiệm cận đứng: $x=1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = {1 \over 2}$

Đường tiệm cận ngang $y={1 \over 2}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị giao Ox, Oy tại các điểm: (4;0); (0;2)

LG b

Chứng minh rằng với mọi $m \ne  \pm {1 \over 2}$, các đường cong $\left( {{H_m}} \right)$ đều đi qua hai điểm cố định A và B.

Lời giải chi tiết:

Gọi $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ là một điểm bất kì của mặt phẳng tọa độ.

Đường cong $\left( {{H_m}} \right)$ đi qua điểm M khi và chỉ khi $(x_o;y_o)$ thỏa mãn ${{{x_o} - 4m} \over {2\left( {m{x_o} - 1} \right)}} = {y_o}$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m{x_o} - 1 \ne 0 \hfill \cr  2{y_o}\left( {m{x_o} - 1} \right) = {x_o} - 4m \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m{x_o} \ne 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  \left( {2{x_o}{y_o} + 4} \right)m - {x_o} - 2{y_o} = 0\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.$

Mọi đường cong $\left( {{H_m}} \right)$ với $m \ne  \pm {1 \over 2}$ đều đi qua điểm $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ khi và chỉ khi hệ phương trình trên nghiệm đúng với mọi $m \ne  \pm {1 \over 2}$.

Phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m khi và chỉ khi

$\left\{ \matrix{ 2{x_o}{y_o} + 4 = 0 \hfill \cr  -{x_o} - 2{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x_o}{y_o} + 4 = 0\\ {x_o} = - 2{y_o} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y_o^2 + 4 = 0\\ {x_o} = - 2{y_o} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y_o} = \pm 1\\ {x_o} = - 2{y_o} \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_o} = - 2 \hfill \cr  {y_o} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,hoac\,\,\left\{ \matrix{ {x_o} = 2 \hfill \cr  {y_o} = - 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ =(-2;1) và $\left( {{x_o};{y_o}} \right)$=(2;-1)

Ta kiểm tra điều kiện (1)
• Với ${x_o} =  - 2$, ta có $m \ne  - {1 \over 2}$

•Với ${x_o} = 2$, ta có $m \ne {1 \over 2}$

Vậy mọi đường cong $\left( {{H_m}} \right)$ với $m \ne  \pm {1 \over 2}$ đều đi qua hai điểm cố định A(-2; 1) và B(2; - 1).

LG c

Chứng minh rằng tích các hệ số góc của tiếp tuyến với ($H_m$) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y' = {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {mx - 1} \right)}^2}}}$

Hệ số góc tiếp tuyến với $\left( {{H_m}} \right)$ tại A(-2; 1) và $B(2; - 1)$ là y’(-2) và y'(2).

Ta có tích hai hệ số góc tiếp tuyến tại A và B là:

$y'\left( { - 2} \right).y'\left( 2 \right)$ $= {{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {-2m - 1} \right)}^2}}}.{{4{m^2} - 1} \over {2{{\left( {2m - 1} \right)}^2}}}$ $= {1 \over 4}$ là hằng số.

Loigiaihay.com