Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định $D=\mathbb R$

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr  x = - 1 \hfill \cr} \right.$

Hàm số đồng biến trên khoảng: $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$

 Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại $x=-1;y(-1)=3$

 Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1; y(1)=-1$

+) Giới hạn:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \cr}$

 Bảng biến thiên:

Đồ thị

Đồ thị giao trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$

Hàm số đồ thị nhận $I(0;1)$  làm tâm đối xứng

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.

Lời giải chi tiết:

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3$

$f''\left( x \right)=6x$

$f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0; f'(0)=-3$

$f\left( 0 \right) = 1$. Điểm uốn U(0;1)

Phương tiếp tuyến của (C) tại U là:

$y - 1 = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right)$ $\Leftrightarrow y =  - 3x + 1$

LG c

Gọi $\left( {{d_m}} \right)$ là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ là y = mx +1.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $\left( {{d_m}} \right)$ và đường cong (C) là nghiệm của phương trình

${x^3} - 3x + 1 = mx + 1$ $\Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr  {x^2} = m + 3 \,\,(2)\hfill \cr} \right.$

$\left( {{d_m}} \right)$ cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức $m + 3 > 0 \Leftrightarrow m >  - 3$

Chú ý:

ĐK tổng quát các em có thể dùng: 

(1) có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right.$

Loigiaihay.com