Bài 72 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

$\left\{ \matrix{ x + y = 20 \hfill \cr  {\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9; \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: $x > 0; y > 0$.

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x + y = 20\\ {\log _4}x + {\log _4}y = 1 + {\log _4}9 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 20\\ {\log _4}x + {\log _4}y = {\log _4}4 + {\log _4}9 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 20\\ {\log _4}\left( {xy} \right) = {\log _4}36 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y = 20\\ xy = 36 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 20 - x\\ x\left( {20 - x} \right) = 36 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 20 - x\\ - {x^2} + 20x - 36 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 20 - x\\ \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 18 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2,y = 18\\ x = 18,y = 2 \end{array} \right. \end{array}$

Vậy $S = \left\{ {\left( {2;18} \right);\,\left( {18;2} \right)} \right\}$

Chú ý:

Ở bước giải hệ $\left\{ \begin{array}{l} x + y = 20\\ xy = 36 \end{array} \right.$ cùng có thể giải nhanh như sau:

x,y chính là nghiệm của phương trình 

${X^2} - 20X + 36 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} X = 2\\ X = 18 \end{array} \right.$

Vậy (x;y)$\in${(2;18),(18;2)}

LG b

$\left\{ \matrix{ x + y = 1 \hfill \cr  {4^{ - 2x}} + {4^{ - 2y}} = 0,5 \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Từ phương trình thứ nhất suy ra $y = 1 – x$, thay vào phương trình thứ hai ta được: 
${4^{ - 2x}} + {4^{ - 2\left( {1 - x} \right)}} = 0,5$

$\Leftrightarrow \,\,{4^{ - 2x}} + {4^{ - 2 + 2x}} = {1 \over 2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{{4^{2x}}}} + \frac{{{4^{2x}}}}{{16}} = \frac{1}{2}$

Đặt $t = {4^{2x\,}}\,\left( {t > 0} \right)$ ta được:

$\eqalign{ & {1 \over t} + {t \over {16}} = {1 \over 2} \cr&\Leftrightarrow 16 + {t^2} = 8t \cr&\Leftrightarrow {\left( {t - 4} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 4 \cr  & \Rightarrow {4^{2x}} = 4 \cr&\Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = {1 \over 2} \cr}$

Với $x = {1 \over 2}$ ta có $y = 1 - x = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}$
Vậy $S = \left\{ {\left( {{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)} \right\}$

Cách 2.

x+y=1$\Leftrightarrow$ 4^x+y=4 <=> 4^x.4^y=4

Đặt u=4^x,v=4^y ta được:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}uv = 4\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{v^2}}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{4}{u}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{1}{{{u^2}}} + \frac{{{u^2}}}{{16}} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\frac{{16 + {u^4}}}{{16{u^2}}} = \frac{{8{u^2}}}{{16{u^2}}}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\{u^4} - 8{u^2} + 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\{u^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \frac{4}{u}\\\left[ \begin{array}{l}u = 2\left( {TM} \right)\\u =  - 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 2\\v = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{4^x} = 2\\{4^y} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^{2x}} = 2\\{2^{2y}} = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 1\\2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Tập nghiệm của hệ phương trình là $S = \left\{ {\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)} \right\}$.

 Loigiaihay.com