Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a$. Các mặt bên $SAB, SBC, SCA$ tạo với đáy một góc $60^0$. Tính thể tích của khối chóp đó.

Lời giải chi tiết

Kẻ $SH \bot (ABC)$ và từ $H$ kẻ $HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA$.

Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:

$SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC$ do đó:

+) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {SIH} = {60^0}$

+) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {SJH} = {60^0}$

+) Góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là $\widehat {SKH} = {60^0}$

Từ đây ta có: $△SIH = △SJH = △SKH$ (c.g.v.g.n)

$\Rightarrow IH = JH = KH$

$\Rightarrow  H$ là tâm đường tròn nội tiếp $△ABC$.

Tam giác $ABC$ có chu vi: $2p = AB + BC + CA = 18a \Rightarrow  p = 9a$

Theo công thức Hê-rông, ta có: ${S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}$ $= \sqrt {9a.4a.2a.3a}  = 6{a^2}\sqrt 6$

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$: 

$IH = r = \displaystyle{{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}$

Xét tam giác vuông SHI có: $SH = r . \tan 60^0$ = $\displaystyle{{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3  = 2a\sqrt 2$

Vậy thể tích khối chóp: ${V_{S.ABC}} = \displaystyle{1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6  = 8{a^3}\sqrt 3$

Loigiaihay.com