Bài 7 trang 100 SGK Hình học 12

LG a

Chứng minh rằng hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau.

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng ${d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0}' + t'{a_1}'\\y = {y_0}' + t'{a_2}'\\z = {z_0}' + t'{a_3}'\end{array} \right.$

chéo nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}$ không cùng phương (Với $\overrightarrow a ;\overrightarrow {a'}$ lần lượt là VTCP của $d_1;d_2$) và hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + t{a_1} = {x_0}' + t'{a_1}'\\{y_0} + t{a_2} = {y_0}' + t'{a_2}'\\{z_0} + t{a_3} = {z_0}' + t'{a_3}'\end{array} \right.$ vô nghiệm.

Lời giải chi tiết:

(d₁) đi qua điểm $M(1; 0; 0)$ và có VTCP $\overrightarrow {a_1}  = (-1; 1; -1)$

(d₂) đi qua điểm $M'(0; -1; 0)$ và có VTCP $\overrightarrow {a_2}  = (2; 1; 1)$

Dễ thấy $\overrightarrow {a_1}$ và $\overrightarrow {a_2}$ không cùng phương nên d₁ và d₂ có thể chéo nhau hoặc cắt nhau. Xét giao của d₁ và d₂: $\left\{ \begin{array}{l}1 - t = 2t'\\t = - 1 + t'\\- t = t'\end{array} \right.$.

Hệ phương trình trên vô nghiệm, do đó d₁ và d₂ không cắt nhau.

Vậy d₁ và d₂ chéo nhau.

LG b

Viết phương trình mặt phẳng $(α)$ chứa d₁ và song song với d₂.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $(α)$ chứa (d₁) và song song với d₂ thì $(α)$ qua điểm bất kì thuộc $d_1$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} } \right]$, với ${\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} }$ lần lượt là VTCP của $d_1;d_2$

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng $(α)$ chứa (d₁) và song song với d₂ thì $(α)$ qua điểm $M_1(1; 0; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (2; -1; -3)$

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng:

$2(x - 1) - (y - 0) - 3(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 3z - 2 = 0$

Loigiaihay.com