Bài 8 trang 100 SGK Hình học 12

LG a

Chứng minh rằng $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

Phương pháp giải:

Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và chứng minh $D \notin \left( {ABC} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow {AB} = (2; 4; -1)$, $\overrightarrow {AC} = (3; -1; 2)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] =  (7; -7; -14)=7(1;-1;-2)$

Gọi $\overrightarrow n$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ $\Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {1; - 1; - 2} \right)$

Khi đó phương trình mp $(ABC)$: $(x - 1) - (y - 0) -2(z + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - y - 2z - 3 = 0$.

Thay tọa độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: $3 - 0 - 2.3 - 3 =  - 6 \ne 0 \Rightarrow D \notin \left( {ABC} \right)$.

Vậy $A, B, C, D$ không đồng phẳng.

LG b

Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ và tính khoảng cách từ $D$ đến $(ABC)$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\,\,\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2} > 0} \right)$ là: $d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle d(D, (ABC))$ =$\displaystyle {{\left| {1.3 - 0 - 2.3 - 3} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} }} = {6 \over {\sqrt 6 }} = \sqrt 6$

LG c

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

Phương pháp giải:

Gọi phương trình tổng quát của mặt cầu là ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$.

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu trên, suy ra được hệ 4 phương trình 4 ẩn A, B, C, D. Giải hệ phương trình sau đó suy ra phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Phương trình tổng quát của mặt cầu:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0$

Mặt cầu đi qua $A(1; 0; -1)$ ta có:

${1^2} + {0^2} + {( - 1)^2} + 2A - 2C + D = 0$

$\Leftrightarrow 2A - 2C + D + 2 = 0$(1)

Tương tự, mặt cầu đi qua $B, C, D$ cho ta các phương trình:

$6A + 8B - 4C + D + 29 = 0$     (2)

$8A - 2B + 2C + D + 18 = 0$    (3)

$6A  + 6C + D + 18 = 0$    (4)

Hệ bốn phương trình (1), (2), (3), (4) cho ta: $A = -3; B =- 2; C = {-1 \over 2}; D = 3$.

Vậy hương trình mặt cầu đi qua bốn điểm $A, B, C, D$ là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} -6 x - 4y - z +3 = 0$

Cách khác:

Ta có:

$\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right),$ $\overrightarrow {CB}  = \left( { - 1;5; - 3} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1;1;2} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0$ và $\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD}  = 0$

$\Rightarrow CB \bot CD,AB \bot AD$

Nên hai tam giác $ABD,CBD$ vuông tại $A,C$.

Gọi $I$ là trung điểm $BD$ thì $IA = IB = ID = IC = \dfrac{{BD}}{2}$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Mà $B\left( {3;4; - 2} \right),D\left( {4; - 1;1} \right)$ nên $I\left( {3;2;\dfrac{1}{2}} \right)$.

Bán kính $R = \dfrac{{BD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {0 + 16 + 25} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {41} }}{2}$.

Phương trình mặt cầu: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{41}}{4}$ hay ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - z + 3 = 0$

LG d

Tính thể tích tứ diện $ABCD$.

Phương pháp giải:

${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {AD}  = \left( {2;0;4} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = 7.2 - 7.0 - 14.4 =  - 42$

Vậy ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}.42 = 7$

Cách khác:

Ta có: ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)$

$\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4; - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 1;2} \right)$ $\Rightarrow AB = \sqrt {4 + 16 + 1}  = \sqrt {21} ,$ $AC = \sqrt {9 + 1 + 4}  = \sqrt {14}$.

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow AB \bot AC$

$\Rightarrow$ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC$ $= \dfrac{1}{2}\sqrt {21} .\sqrt {14}  = \dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}$.

Mà $d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt 6$ nên ${V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right)$$= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{7\sqrt 6 }}{2}.\sqrt 6  = 7$.

Loigiaihay.com