Bài 68 trang 61 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

$\tan x > x,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$;

Phương pháp giải:

Chứng minh rằng hàm số: $f\left( x \right) = \tan x - x$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f\left( x \right) = \tan x - x$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1$ trên khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Vì $0 < {\cos ^2}x < 1$$\Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0$  $\Rightarrow f'(x) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Do đó hàm số $f$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$ 

Từ đó: $f\left( x \right) > f\left( 0 \right)=0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$ $\Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$

$\Leftrightarrow \tan x > x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

LG b

$\tan x > x + {{{x^3}} \over 3},\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f\left( x \right) = \tan x - x - {{{x^3}} \over 3}$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$ và có đạo hàm $f'\left( x \right) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1 -x^2$ $= {\tan ^2}x - {x^2}$ $= \left( {\tan x - x} \right)\left( {\tan x + x} \right)$

Ta có:

+) $\tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ (câu a)

+) $\tan x + x > 0, \forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ vì trong khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ thì $\tan x$ và $x$ đều dương.

Do đó $f'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$

Nên hàm số $f$ đồng biến trên nửa khoảng $\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)$ và khi đó 

$f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$

$\Rightarrow \tan x > x + {{{x^3}} \over 3}\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)$

Loigiaihay.com