Bài 66 trang 64 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm².

Lời giải chi tiết

Gọi $x$ (cm) là độ dài của đoạn $AK$. Điều kiện $0 < x < 12$

Vì $∆ABC$ đồng dạng $∆AMN$ nên

$\eqalign{ & {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}} = {x \over {12}} \cr & \Rightarrow MN = {{16x} \over {12}} = {{4{\rm{x}}} \over 3} \cr}$  

Ta có: $MQ = KH = 12 – x$

Do đó diện tich hình chữ nhật $MNPQ$ là: $\displaystyle \left( {12 - x} \right){{4{\rm{x}}} \over 3}$ 

Ta có phương trình:

$\displaystyle \left( {12 - x} \right){{4{\rm{x}}} \over 3} = 36 \Leftrightarrow {x^2} - 12{\rm{x}} + 27 = 0$

Phương tình trên có $\Delta'=(-6)^2-1.27=9>0$

Suy ra ${x} = 9$ (nhận) hoặc ${x} = 3$ (nhận)

Vậy độ dài của đoạn $AK = 3cm$ hoặc $AK=9cm$. Suy ra $\dfrac {AM}{AB}=\dfrac {1}{4}$ hoặc $\dfrac {AM}{AB}=\dfrac {3}{4}$

Khi đó $M$ sẽ có hai vị trí trên $AB$ nhưng diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ luôn bằng $36$ cm²

Loigiaihay.com