Bài 66 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 66 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho elip \((E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(a > b > 0).\)

LG a

Chứng minh rằng với mọi \(M\) thuộc \((E),\) ta luôn có \(b \le OM \le a\).

Lời giải chi tiết:

\(M({x_0} ; {y_0}) \in (E)   \)

\(\Rightarrow    \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1   (a > b > 0)  ;\)

\(  O{M^2} = x_0^2 + y_0^2\).

Ta có

\(\begin{array}{l} \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{a^2}}} \le  \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1  \\  \Leftrightarrow    x_0^2 + y_0^2 \le {a^2}  \\  \Leftrightarrow O{M^2} \le {a^2}    \Leftrightarrow OM \le a.\\ \dfrac{{x_0^2}}{{{b^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \ge  \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1    \\\Leftrightarrow    x_0^2 + y_0^2 \ge {b^2}    \Leftrightarrow O{M^2} \ge {b^2} \\   \Leftrightarrow OM \ge b.\end{array}\)

Vậy \(b \le OM \le a\). Ta có \(a=OM\) khi và chỉ khi \(y_0=0,\) tức là \(M\) trùng với các đỉnh trên trục lớn.

Ta có \(b=OM\) khi và chỉ khi \(x_0=0,\) tức là \(M\) trùng với các đỉnh trên trục bé.

LG b

Gọi \(A\) là giao điểm của đường thẳng có phương trình \(\alpha x + \beta y = 0\) với \((E)\). Tính \(OA\) theo \(a, b, \alpha , \beta \).

Lời giải chi tiết:

Tọa  độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\alpha x + \beta y = 0\\ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \\   \Rightarrow   x_A^2 =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} , \\  y_A^2 =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\O{A^2} = x_A^2 + y_A^2\\ =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} +  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}\\ =  \dfrac{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\ \Rightarrow   OA =  \dfrac{{ab.\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}{{\sqrt {{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}} }}.\end{array}\)

LG c

Gọi \(B\) là điểm trên \((E)\) sao cho \(OA \bot OB\). Chứng minh rằng tổng \( \dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}}\) có giá trị không đổi.

Lời giải chi tiết:

Do \(OA\) vuông góc với \(OB\) nên phương trình đường thẳng \(OB\) là: \(\beta x - \alpha y = 0\). \(B\) là giao điểm của \((E)\) với đường thẳng \(\beta x + ( - \alpha )y = 0\) nên áp dụng câu b), ta có

\(O{B^2} =  \dfrac{{{a^2}{b^2}\left[ {{\beta ^2} + {{( - \alpha )}^2}} \right]}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{{( - \alpha )}^2}}}\)

\(=  \dfrac{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}.\)

Do đó :

\( \dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}}\)

\(=  \dfrac{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2} + {a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}} \)

\(=  \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\) không đổi.

LG d

Chứng minh rằng đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(OH \bot AB\). Trong tam giác vuông \(AOB,\) ta có

\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{O{H^2}}} =  \dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}} =  \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\\ \Rightarrow    OH =  \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\end{array}\)

Vậy đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm \(O,\) bán kính \(R =  \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close