Bài 64 trang 87 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Gọi \(MH\) là đường cao của tam giác \(MNP.\) Chứng minh rằng: Nếu \(MN < MP\) thì \(HN < HP\)  và  \(\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\) (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc \(N\) nhọn và khi góc \(N\) tù).

Lời giải chi tiết

 

+ Nếu góc \(N\) nhọn (hình a)

\(∆MNP\) có \(\hat N\) nhọn nên chân đường cao \(H\) kẻ từ \(M\) nằm giữa \(N\) và \(P.\)

Hình chiếu của \(MN\) và \(MP\) trên \(NP\) lần lượt là \(HN\) và \(HP.\)

Vì \(MN < MP\) \( \Rightarrow HN < HP\) (quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu).

\(∆MNP\) có \(MN < MP\) \( \Rightarrow\)  \(\widehat {MPN} < \widehat {MNP}\) (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)    (1)

Lại có  \(\widehat {NMH} + \widehat {MNH} = {90^o}\) (\(∆MNH\) vuông tại \(H\))   (2)

          \(\widehat {MPH} + \widehat {PMH} = {90^o}\) (\(∆MHP\) vuông tại \(H\))     (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \widehat {NMH} < \widehat {PMH}\)

+ Nếu góc \(N\) tù (hình b)

\(∆MNP\) có  \(\hat N\) tù nên chân đường cao \(H\) ở ngoài cạnh \(NP\) và \(N\) ở giữa \(H\) và \(P\) (Xem lại Bài 58 trang 83 SGK Toán 7 tập 2 - loigiaihay.com )

\( \Rightarrow\) Tia \(MN\) ở giữa hai tia \(MH\) và \(MP.\)

\( \Rightarrow \widehat {HMN} < \widehat {HMP}\).