Bài 64 trang 100 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Các tia phân giác của các góc $A, B, C, D$ cắt nhau như trên hình $91.$ Chứng minh rằng $EFGH$ là hình chữ nhật. 

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết $ABCD$ là hình bình hành nên $AD//BC,AB//CD$ 

Vì $AD//BC$ $\Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABC}= {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Vì $AG$ là tia phân giác $\widehat {DAB}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ $\widehat {BAG}=\widehat {DAH} = \dfrac{1}{2}\widehat {DAB}$ (tính chất tia phân giác)

Vì $BG$ là tia phân giác $\widehat {ABC}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$  $\widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC}$

Do đó: $\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {ABC}} \right)$$= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}$

Xét $\Delta AGB$ có:

$\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác $AGB$ ta có:

$\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}$

$\Rightarrow\widehat {AGB} =180^0- (\widehat {BAG} + \widehat {ABG} )$$=180^0-{90^0}=90^0$ (*)

+ Vì $AB//DC$ $\Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ADC}= {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

+ Vì $DE$ là tia phân giác $\widehat {ADC}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ $\widehat {ADH}=\widehat {EDC} = \dfrac{1}{2}\widehat {ADC}$ (tính chất tia phân giác)

Do đó: $\widehat {DAH} + \widehat {ADH} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {DAB} + \widehat {ADC}} \right)$$= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}$

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác vào tam giác $ADH$ ta có:

$\widehat {DAH} + \widehat {ADH} + \widehat {AHD} = {180^0}$

$\Rightarrow\widehat {AHD} =180^0- (\widehat {DAH} + \widehat {ADH} )$$=180^0-{90^0}=90^0$

Suy ra $AH\bot HD$ nên $\widehat {EHG}=90^0$ (**)

Chứng minh tương tự:

Ta có: $\widehat {DCB} + \widehat {ADC}= {180^0}$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Mà $\widehat{ECD}=\dfrac{1}2\widehat {DCB}$ (do CE là phân giác góc DCB)

Nên $\widehat {EDC} + \widehat {ECD} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {ADC} + \widehat {DCB}} \right)$$= \dfrac{1}{2}{.180^0} = {90^0}$

Lại có: 

$\widehat {EDC} + \widehat {ECD} + \widehat {DEC} = {180^0}$ (tổng ba góc trong tam giác DEC)

$\Rightarrow\widehat {DEC} =180^0- (\widehat {EDC} + \widehat {ECD} )$$=180^0-{90^0}=90^0$

Hay $\widehat {HEF} = {90^0}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) ta thấy tứ giác $EFGH$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Loigiaihay.com