Bài 66 trang 100 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường $AB$ thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.$92$). Đội đã dựng các điểm $C, D, E$ như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn thẳng $EF$ vuông góc với $DE$. Vì sao $AB$ và $EF$ cùng nằm trên một đường thẳng ?

Lời giải chi tiết

 Tứ giác $BCDE$ có:

$BC // DE$ (vì cùng vuông góc với $CD$)

$BC = DE$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ Tứ giác $BCDE$  là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà  $\widehat {BCD} = {90^0}$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ Hình bình hành $BCDE$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

$\Rightarrow$ $\widehat {CBE} = \widehat {BED} = {90^0}$

Mặt khác: $\widehat {CBA} = \widehat {FED} = {90^0}$ (giả thiết)

Ta có: $\widehat {CBA} + \widehat {CBE} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow$$A,B,E$ thẳng hàng (1)

$\widehat {FED} + \widehat {BED} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\Rightarrow$ $B,E,F$ thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ $AB$ và $EF$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Cách khác: 

Tứ giác $BCDE$ có:

$BC // DE$ (vì cùng vuông góc với $CD$)

$BC = DE$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ Tứ giác $BCDE$  là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra $BE//CD$ (*) (tính chất)

Lại có $\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = {90^0}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AB//CD$ (**)

$\widehat {DEF} = \widehat {CDE} = {90^0}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $EF//CD$ (***)

Từ (*), (**), (***) và theo tiên đề Ơclit ta suy ra $A,B,E,F$ thẳng hàng

Hay $AB$ và $EF$ cùng nằm trên một đường thẳng. 

Loigiaihay.com