Bài 65 trang 100 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $E, F, G, H$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Tứ giác $EFGH$ là hình gì ? Vì sao ?

Lời giải chi tiết

 Vì $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ (giả thiết) 

$\Rightarrow$ $EF$ là đường trung bình của $∆ABC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$ $EF // AC$ và $EF=\dfrac{AC}2$  (1) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Do $G,H$ lần lượt là trung điểm của $CD,DA$ (giả thiết)

$\Rightarrow$  $HG$ là đường trung bình của $∆ADC$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$  $HG // AC$ và $HG=\dfrac{AC}2$ (2)  (tính chất đường trung bình của tam giác)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$  $EF // HG$ và $EF=HG\,(=\dfrac{AC}2)$

$\Rightarrow$ $EFGH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) 

 Vì $E,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$ (giả thiết)

$\Rightarrow$ $EH$ là đường trung bình của $∆ABD$ (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$ $EH // BD$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có: $EF // AC$ và $EH//BD$ mà $AC\bot BD$ nên $EF\bot EH$

Hay $\widehat{FEH} = 90^0$

Hình bình hành $EFGH$  có $\widehat{E} = 90^0$ nên là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

Loigiaihay.com