Bài 63 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 63 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng hai trung tuyến kẻ từ \(B\) và \(C\) của tam giác \(ABC\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi có hệ thức sau:

\(\cot A = 2(\cot B + \cot C).\)

Lời giải chi tiết

 

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC (h.57).

Khi đó \(GB \bot GC   \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{4}{9}\left( {m_b^2 + m_c^2} \right)\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow   9{a^2} = 4\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow   9{a^2} = 4{a^2} + {b^2} + {c^2}\\\Leftrightarrow   5{a^2} = {b^2} + {c^2}.\end{array}\)

Biến đổi đẳng thức \(\cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)\)

\( \Leftrightarrow   \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R\)

\(= 2\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R + \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R} \right)\) ( theo bài 58).

\( \Leftrightarrow   {b^2} + {c^2} = 5{a^2}\).

Vậy \(GB \bot GC\)

\(\Leftrightarrow   \cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close