Bài 55 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x - {2 \over {x - 1}}$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$

$y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in D$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ;1)$ và $(1; + \infty )$

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \cr  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \cr}$

Do đó $x=1$ là tiệm cận đứng.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } (y - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - {2 \over {x - 1}}} \right) = 0$

Vậy $y=x$ là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao $Ox$ tại $(-1;0),(2;0)$

Đồ thị giao $Oy$ tại $(0;2)$

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm $(3;3)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y' = 1 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm $M\left( {{x_o};{{x_o} - {2 \over {{x_o} - 1}}}} \right) \in \left( C \right)$ là:

$\left( d \right):\,y - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}}$ $= \left[ {1 + {2 \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}} \right]\left( {x - {x_o}} \right)\,\left( {x_o \ne 1} \right)$

Vì $\left( {3;3} \right) \in d$ nên $3 - {x_o} + {2 \over {{x_o} - 1}} = {{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_o}} \right)$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right){\left( {{x_o} - 1} \right)^2} + 2\left( {{x_o} - 1} \right) \cr&= \left( {{x_o^2} - 2{x_o} + 3} \right)\left( {3 - {x_o}} \right) \cr}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right)\left( {x_o^2 - 2{x_o} + 1} \right) + 2{x_o} - 2\\ = 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\ \Leftrightarrow 3x_o^2 - x_o^3 - 6{x_o} + 2x_o^2 + 3 - {x_o} + 2{x_o} - 2\\ = 3x_o^2 - 6{x_o} + 9 - x_o^3 + 2x_o^2 - 3{x_o}\\ \Leftrightarrow 4{x_o} - 8 = 0\\ \Leftrightarrow {x_o} = 2\\ \Rightarrow {y_o} = 2 - \frac{2}{{2 - 1}} = 0 \end{array}$

$\Rightarrow M\left( {2;0} \right)$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = 3\left( {x - 2} \right)$ hay $y = 3x - 6.$

Cách khác:

Gọi phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k đi qua A(3; 3) có dạng

y-3=k(x-3) <=> y=k(x-3)+3

(d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

Thế (2) vào (1) ta được:

$\begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \left( {1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right)\left( {x - 3} \right) + 3\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\left( {x - 3} \right) + 3\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + 3\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow \left( {{x^2} - x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) + 3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - 2x - {x^2} + x + 2\\ = {x^3} - 2{x^2} + 3x - 3{x^2} + 6x - 9 + 3{x^2} - 6x + 3\\ \Leftrightarrow - 4x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \end{array}$

* Với x = 2 thay vào (2) ta được k = 3.

Vậy phương trình tiếp tuyến là

y = 3(x- 3) + 3 hay y = 3x – 6

Loigiaihay.com